如图，矩形ABCD中，AB4，BC2，点E、F分别在AB、C-优题课

如图，矩形 $ABCD$ 中， $AB = 4$ ， $BC = 2$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $AB$ 、 $CD$ 上，且 $BE = DF = \frac{3}{2}$ ．

（1）求证：四边形 $AECF$ 是菱形；

（2）求线段 $EF$ 的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：菱形的判定与性质矩形的性质

先化简，再求值： $(\frac{a + 3}{a - 1} - \frac{1}{a - 1}) \div \frac{a^{2} + 4 a + 4}{a^{2} - a}$ ，其中 $a = 3$ ．

计算： $| - \sqrt{2} | + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - \sqrt{6} \div \sqrt{3} - 2 \cos 60 °$ ．

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 过点 $A (1, 0)$ ， $B (3, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $OC = 3$ ．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$ 的坐标；

（2）过点 $A$ 作 $AM ⊥ BC$ ，垂足为 $M$ ，求证：四边形 $ADBM$ 为正方形；

（3）点 $P$ 为抛物线在直线 $BC$ 下方图形上的一动点，当 $ΔPBC$ 面积最大时，求点 $P$ 的坐标；

（4）若点 $Q$ 为线段 $OC$ 上的一动点，问： $AQ + \frac{1}{2} QC$ 是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．

为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“ $A$ ：文明礼仪， $B$ ：生态环境， $C$ ：交通安全， $D$ ：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．

（1）本次随机调查的学生人数是　　人；

（2）请你补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，“ $B$ ”所在扇形的圆心角等于　　度；

（4）小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率．

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径，且 $AB = 4 \sqrt{3}$ ，点 $C$ 是 $\hat{AB}$ 上的一动点（不与 $A$ ， $B$ 重合），过点 $B$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $AC$ 的延长线于点 $D$ ，点 $E$ 是 $BD$ 的中点，连接 $EC$ ．

（1）求证： $EC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）当 $∠ D = 30 °$ 时，求阴影部分面积．