如图，已知BF是⊙O的直径，A为⊙O上（异于B、F)一点，⊙-优题课

如图，已知 $BF$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A$ 为 $⊙ O$ 上（异于 $B$ 、 $F)$ 一点， $⊙ O$ 的切线 $MA$ 与 $FB$ 的延长线交于点 $M$ ； $P$ 为 $AM$ 上一点， $PB$ 的延长线交 $⊙ O$ 于点 $C$ ， $D$ 为 $BC$ 上一点且 $PA = PD$ ， $AD$ 的延长线交 $⊙ O$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $\hat{BE} = \hat{CE}$ ；

（2）若 $ED$ 、 $EA$ 的长是一元二次方程 $x^{2} - 5 x + 5 = 0$ 的两根，求 $BE$ 的长；

（3）若 $MA = 6 \sqrt{2}$ ， $\sin ∠ AMF = \frac{1}{3}$ ，求 $AB$ 的长．

科目数学题型计算题难度中等

知识点：解直角三角形相似三角形的判定与性质切线的性质

如图， $P$ 是平面直角坐标系中第四象限内一点，过点 $P$ 作 $PA ⊥ x$ 轴于点 $A$ ，以 $AP$ 为斜边在右侧作等腰 $Rt Δ APQ$ ，已知直角顶点 $Q$ 的纵坐标为 $- 2$ ，连接 $OQ$ 交 $AP$ 于 $B$ ， $BQ = 2 OB$ ．

（1）求点 $P$ 的坐标；

（2）连接 $OP$ ，求 $ΔOPQ$ 的面积与 $ΔOAQ$ 的面积之比．

（1）解不等式： $\frac{1}{2} (x - 1) > 2 + 3 x$ ；

（2）解方程组： $\{\begin{matrix} x + y = 5 \\ 2 x + 3 y = 13 \end{matrix}$ ．

计算：

（1） $| - 2 \sqrt{3} | - \sqrt{12} + {(\frac{1}{3})}^{- 2}$ ；

（2） ${(x - 2)}^{2} - (x + 2) (x - 2)$ ．

在平面直角坐标系中，已知 $A (1, 4)$ 、 $B (4, 1)$ 、 $C (m, 0)$ 、 $D (0, n)$ ．

（1）四边形 $ABCD$ 的周长的最小值为　　，此时四边形 $ABCD$ 的形状为　　；

（2）在（1）的情况下， $P$ 为 $AB$ 的中点， $E$ 为 $AD$ 上一动点，连接 $PE$ ，作 $PF ⊥ PE$ 交四边形的边于点 $F$ ，在点 $E$ 从 $D$ 运动到 $A$ 的过程中：

①求 $\tan ∠ PEF$ 的值；

②若 $EF$ 的中点为 $Q$ ，在整个运动过程中，请直接写出点 $Q$ 所经过的路线长．

如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (5, 0)$ ，以原点 $O$ 为圆心、3为半径作圆． $P$ 从点 $O$ 出发，以每秒1个单位的速度沿 $y$ 轴正半轴运动，运动时间为 $t (s)$ ．连接 $AP$ ，将 $ΔOAP$ 沿 $AP$ 翻折，得到 $ΔAPQ$ ．求 $ΔAPQ$ 有一边所在直线与 $⊙ O$ 相切时 $t$ 的值．

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