已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2+(k-5)x+1-k=0$，其中 $k$为常数．

（1）求证：无论 $k$为何值，方程总有两个不相等实数根；

（2）已知函数 $y=x^2+(k-5)x+1-k$的图象不经过第三象限，求 $k$的取值范围；

（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求 $k$的最大整数值．

科目 数学   题型 计算题   难度 中等

知识点： 二次函数的性质 二次函数图象与系数的关系 根的判别式 抛物线与x轴的交点 根与系数的关系