已知点A(1,1)、B(4,6)在抛物线yax2bx上，（1-优题课

已知点 $A (- 1, 1)$ 、 $B (4, 6)$ 在抛物线 $y = a x^{2} + bx$ 上，

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $F$ 的坐标为 $(0$ ， $m) (m > 2)$ ，直线 $AF$ 交抛物线于另一点 $G$ ，过点 $G$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $H$ ．设抛物线与 $x$ 轴的正半轴交于点 $E$ ，连接 $FH$ 、 $AE$ ，求证： $FH / / AE$ ；

（3）如图2，直线 $AB$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于 $C$ 、 $D$ 两点．点 $P$ 从点 $C$ 出发，沿射线 $CD$ 方向匀速运动，速度为每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度；同时点 $Q$ 从原点 $O$ 出发，沿 $x$ 轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点 $M$ 是直线 $PQ$ 与抛物线的一个交点，当运动到 $t$ 秒时， $QM = 2 PM$ ，直接写出 $t$ 的值．

科目数学题型计算题难度较难

知识点：二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，其对称轴交抛物线于点 $D$ ，交 $x$ 轴于点 $E$ ，已知 $OB = OC = 6$ ．

（1）求抛物线的解析式及点 $D$ 的坐标；

（2）连接 $BD$ ， $F$ 为抛物线上一动点，当 $∠ FAB = ∠ EDB$ 时，求点 $F$ 的坐标；

（3）平行于 $x$ 轴的直线交抛物线于 $M$ 、 $N$ 两点，以线段 $MN$ 为对角线作菱形 $MPNQ$ ，当点 $P$ 在 $x$ 轴上，且 $PQ = \frac{1}{2} MN$ 时，求菱形对角线 $MN$ 的长．

定义：

数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．

理解：

（1）如图1，已知 $A$ 、 $B$ 是 $⊙ O$ 上两点，请在圆上找出满足条件的点 $C$ ，使 $ΔABC$ 为“智慧三角形”（画出点 $C$ 的位置，保留作图痕迹）；

（2）如图2，在正方形 $ABCD$ 中， $E$ 是 $BC$ 的中点， $F$ 是 $CD$ 上一点，且 $CF = \frac{1}{4} CD$ ，试判断 $ΔAEF$ 是否为“智慧三角形”，并说明理由；

运用：

（3）如图3，在平面直角坐标系 $xOy$ 中， $⊙ O$ 的半径为1，点 $Q$ 是直线 $y = 3$ 上的一点，若在 $⊙ O$ 上存在一点 $P$ ，使得 $ΔOPQ$ 为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点 $P$ 的坐标．

某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元 $/$ 件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为8元 $/$ 件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线 $ODE$ 表示日销售量 $y$ （件）与销售时间 $x$ （天）之间的函数关系，已知线段 $DE$ 表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．

（1）第24天的日销售量是　　件，日销售利润是　　元．

（2）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围；

（3）日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 与边 $BC$ 、 $AC$ 分别交于 $D$ 、 $E$ 两点，过点 $D$ 作 $DF ⊥ AC$ ，垂足为点 $F$ ．

（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AE = 4$ ， $\cos A = \frac{2}{5}$ ，求 $DF$ 的长．

小慧根据学习函数的经验，对函数 $y = | x - 1 |$ 的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完成：

（1）函数 $y = | x - 1 |$ 的自变量 $x$ 的取值范围是　　；

（2）列表，找出 $y$ 与 $x$ 的几组对应值．

$x$	$\dots$	$- 1$	0	1	2	3	$\dots$
$y$	$\dots$	b	1	0	1	2	$\dots$

其中， $b =$ 　　；

（3）在平面直角坐标系 $xOy$ 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；

（4）写出该函数的一条性质：　　．