阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q的坐标分别是P(x-优题课

题文

阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点 $P$ 、 $Q$ 的坐标分别是 $P (x_{1}$ ， $y_{1})$ 、

$Q (x_{2}$ ， $y_{2})$ ，则 $P$ 、 $Q$ 这两点间的距离为 $| PQ | = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ ．如 $P (1, 2)$ ， $Q (3, 4)$ ，则 $| PQ | = \sqrt{{(1 - 3)}^{2} + {(2 - 4)}^{2}} = 2 \sqrt{2}$ ．

对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．

解决问题：如图，已知在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $y = kx + \frac{1}{2}$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为点 $B$ ，过点 $B$ 作直线 $l$ 平行于 $x$ 轴．

（1）到点 $A$ 的距离等于线段 $AB$ 长度的点的轨迹是　　；

（2）若动点 $C (x, y)$ 满足到直线 $l$ 的距离等于线段 $CA$ 的长度，求动点 $C$ 轨迹的函数表达式；

问题拓展：（3）若（2）中的动点 $C$ 的轨迹与直线 $y = kx + \frac{1}{2}$ 交于 $E$ 、 $F$ 两点，分别过 $E$ 、 $F$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足分别是 $M$ 、 $N$ ，求证：

① $EF$ 是 $ΔAMN$ 外接圆的切线；

② $\frac{1}{AE} + \frac{1}{AF}$ 为定值．

科目数学题型计算题难度较难

知识点：轨迹两点间的距离公式三角形的外接圆与外心切线的判定与性质圆的综合题

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计算：

（1） ${(- 2)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{- 1} + 2017^{0}$

（2） $(1 + \frac{4}{x - 2}) \div \frac{x + 2}{x^{2} - 4 x + 4}$ ．

如图，已知矩形 $ABCD$ 中， $AB = 4$ ， $AD = m$ ，动点 $P$ 从点 $D$ 出发，在边 $DA$ 上以每秒1个单位的速度向点 $A$ 运动，连接 $CP$ ，作点 $D$ 关于直线 $PC$ 的对称点 $E$ ，设点 $P$ 的运动时间为 $t (s)$ ．

（1）若 $m = 6$ ，求当 $P$ ， $E$ ， $B$ 三点在同一直线上时对应的 $t$ 的值．

（2）已知 $m$ 满足：在动点 $P$ 从点 $D$ 到点 $A$ 的整个运动过程中，有且只有一个时刻 $t$ ，使点 $E$ 到直线 $BC$ 的距离等于3，求所有这样的 $m$ 的取值范围．

如图，以原点 $O$ 为圆心，3为半径的圆与 $x$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $B$ 在点 $A$ 的右边）， $P$ 是半径 $OB$ 上一点，过 $P$ 且垂直于 $AB$ 的直线与 $⊙ O$ 分别交于 $C$ ， $D$ 两点（点 $C$ 在点 $D$ 的上方），直线 $AC$ ， $DB$ 交于点 $E$ ．若 $AC : CE = 1 : 2$ ．

（1）求点 $P$ 的坐标；

（2）求过点 $A$ 和点 $E$ ，且顶点在直线 $CD$ 上的抛物线的函数表达式．

某地新建的一个企业，每月将生产1960吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：

污水处理器型号	$A$ 型	$B$ 型
处理污水能力（吨 $/$ 月）	240	180

已知商家售出的2台 $A$ 型、3台 $B$ 型污水处理器的总价为44万元，售出的1台 $A$ 型、4台 $B$ 型污水处理器的总价为42万元．

（1）求每台 $A$ 型、 $B$ 型污水处理器的价格；

（2）为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的污水处理器，那么他们至少要支付多少钱？

操作：“如图1， $P$ 是平面直角坐标系中一点 $(x$ 轴上的点除外），过点 $P$ 作 $PC ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，点 $C$ 绕点 $P$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到点 $Q$ ．”我们将此由点 $P$ 得到点 $Q$ 的操作称为点的 $T$ 变换．

（1）点 $P (a, b)$ 经过 $T$ 变换后得到的点 $Q$ 的坐标为　　；若点 $M$ 经过 $T$ 变换后得到点 $N (6, - \sqrt{3})$ ，则点 $M$ 的坐标为　　．

（2） $A$ 是函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{2} x$ 图象上异于原点 $O$ 的任意一点，经过 $T$ 变换后得到点 $B$ ．

①求经过点 $O$ ，点 $B$ 的直线的函数表达式；

②如图2，直线 $AB$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ，求 $ΔOAB$ 的面积与 $ΔOAD$ 的面积之比．

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