已知抛物线y12x2bxc经过点A(2,0)，B(0、4)与-优题课

已知抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 经过点 $A (- 2, 0)$ ， $B (0$ 、 $- 4)$ 与 $x$ 轴交于另一点 $C$ ，连接 $BC$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图， $P$ 是第一象限内抛物线上一点，且 $S_{ΔPBO} = S_{ΔPBC}$ ，求证： $AP / / BC$ ；

（3）在抛物线上是否存在点 $D$ ，直线 $BD$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，使 $ΔABE$ 与以 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $E$ 中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型计算题难度较难

知识点：二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

先化简，再求值： $(\frac{8}{a + 3} + a - 3) \div \frac{a^{2} + 2 a + 1}{a + 3}$ ，其中 $a$ 为不等式组 $\{\begin{matrix} a - 1 < 2 \\ 2 a + \frac{1}{2} > 3 \end{matrix}$ 的整数解．

先化简，再求值： $(1 - \frac{a + b}{a - b}) \div \frac{b}{a^{2} - b^{2}}$ ，其中 $a = \sqrt{3} - 2$ ， $b = 5 - \sqrt{3}$ ．

在综合与实践活动中，活动小组对学校400米的跑道进行规划设计，跑道由两段直道和两端是半圆弧的跑道组成．其中400米跑道最内圈为400米，两端半圆弧的半径为36米． $(π$ 取 $3.14)$ ．

（1）求400米跑道中一段直道的长度；

（2）在活动中发现跑道周长（单位：米）随跑道宽度（距最内圈的距离，单位：米）的变化而变化．请完成下表：

跑道宽度 $/$ 米	0	1	2	3	4	5	$\dots$
跑道周长 $/$ 米	400						$\dots$

若设 $x$ 表示跑道宽度（单位：米）， $y$ 表示该跑道周长（单位：米），试写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式：

（3）将446米的跑道周长作为400米跑道场地的最外沿，那么它与最内圈（跑道周长400米）形成的区域最多能铺设道宽为1.2米的跑道多少条？

将直角三角板 $ABC$ 按如图1放置，直角顶点 $C$ 与坐标原点重合，直角边 $AC$ 、 $BC$ 分别与 $x$ 轴和 $y$ 轴重合，其中 $∠ ABC = 30 °$ ．将此三角板沿 $y$ 轴向下平移，当点 $B$ 平移到原点 $O$ 时运动停止．设平移的距离为 $m$ ，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为 $s$ ， $s$ 关于 $m$ 的函数图象（如图2所示）与 $m$ 轴相交于点 $P (\sqrt{3}$ ， $0)$ ，与 $s$ 轴相交于点 $Q$ ．

（1）试确定三角板 $ABC$ 的面积；

（2）求平移前 $AB$ 边所在直线的解析式；

（3）求 $s$ 关于 $m$ 的函数关系式，并写出 $Q$ 点的坐标．

为了创建文明城市，增强学生的环保意识．随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这8名学生分别标记为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ ，其中" $\sqrt$ "表示投放正确，" $\times$ "表示投放错误，统计情况如下表．

学生垃圾类别	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$	$F$	$G$	$H$
厨余垃圾	$\sqrt$	$\sqrt$	$\sqrt$	$\sqrt$	$\sqrt$	$\sqrt$	$\sqrt$	$\sqrt$
可回收垃圾	$\sqrt$	$\times$	$\sqrt$	$\times$	$\times$	$\sqrt$	$\sqrt$	$\sqrt$
有害垃圾	$\times$	$\sqrt$	$\times$	$\sqrt$	$\sqrt$	$\times$	$\times$	$\sqrt$
其他垃圾	$\times$	$\sqrt$	$\sqrt$	$\times$	$\times$	$\sqrt$	$\sqrt$	$\sqrt$

（1）求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；

（2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里"有害垃圾"投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果．