如右图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD延长线上的点，-优题课

如右图，在 $▱ ABCD$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $AB$ 、 $CD$ 延长线上的点，且 $BE = DF$ ，连接 $EF$ 交 $AD$ 、 $BC$ 于点 $G$ 、 $H$ ．求证： $FG = EH$ ．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：平行四边形的性质全等三角形的判定与性质

已知等边三角形 $ABC$ ，过 $A$ 点作 $AC$ 的垂线 $l$ ，点 $P$ 为 $l$ 上一动点（不与点 $A$ 重合），连接 $CP$ ，把线段 $CP$ 绕点 $C$ 逆时针方向旋转 $60 °$ 得到 $CQ$ ，连 $QB$ ．

（1）如图1，直接写出线段 $AP$ 与 $BQ$ 的数量关系；

（2）如图2，当点 $P$ 、 $B$ 在 $AC$ 同侧且 $AP = AC$ 时，求证：直线 $PB$ 垂直平分线段 $CQ$ ；

（3）如图3，若等边三角形 $ABC$ 的边长为4，点 $P$ 、 $B$ 分别位于直线 $AC$ 异侧，且 $ΔAPQ$ 的面积等于 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求线段 $AP$ 的长度．

某商贸公司购进某种商品的成本为20元 $/ kg$ ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价 $y$ （元 $/ kg)$ 与时间 $x$ （天 $)$ 之间的函数关系式为： $y = \{\begin{matrix} 0.25 x + 30 (1 ⩽ x ⩽ 20 且 x 为整数) \\ 35 (20 < x ⩽ 40 且 x 为整数) \end{matrix}$ ，且日销量 $m (kg)$ 与时间 $x$ （天 $)$ 之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：

时间 $x$ （天 $)$	1	3	6	10	$\dots$
日销量 $m (kg)$	142	138	132	124	$\dots$

（1）填空： $m$ 与 $x$ 的函数关系为　　；

（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售 $1 kg$ 商品就捐赠 $n$ 元利润 $(n < 4)$ 给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 $x$ 的增大而增大，求 $n$ 的取值范围．

如图，已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $∠ OCB$ 的角平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ， $F$ 在直线 $AB$ 上，且 $DF ⊥ BC$ ，垂足为 $E$ ，连接 $AD$ 、 $BD$ ．

（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $\tan ∠ A = \frac{1}{2}$ ， $⊙ O$ 的半径为3，求 $EF$ 的长．

如图，已知 $ΔABC$ 中， $D$ 是 $AC$ 的中点，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AC$ 交 $BC$ 于点 $E$ ，过点 $A$ 作 $AF / / BC$ 交 $DE$ 于点 $F$ ，连接 $AE$ 、 $CF$ ．

（1）求证：四边形 $AECF$ 是菱形；

（2）若 $CF = 2$ ， $∠ FAC = 30 °$ ， $∠ B = 45 °$ ，求 $AB$ 的长．

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 2 m + 5 = 0$ 有两个不相等的实数根．

（1）求实数 $m$ 的取值范围；

（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数 $m$ 的值．