已知：∠AOB．求作：∠AOB，使∠AOB∠AOB（1）如图-优题课

已知： $∠ AOB$ ．

求作： $∠ A^{'} O^{'} B^{'}$ ，使 $∠ A^{'} O' B^{'} = ∠ AOB$

（1）如图1，以点 $O$ 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 $OA$ ， $OB$ 于点 $C$ 、 $D$ ；

（2）如图2，画一条射线 $O' A'$ ，以点 $O'$ 为圆心， $OC$ 长为半径画弧，交 $O' A'$ 于点 $C'$ ；

（3）以点 $C'$ 为圆心， $CD$ 长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点 $D'$ ；

（4）过点 $D'$ 画射线 $O' B^{'}$ ，则 $∠ A^{'} O^{'} B^{'} = ∠ AOB$ ．

根据以上作图步骤，请你证明 $∠ A^{'} O^{'} B' = ∠ AOB$ ．

科目数学题型作图题难度中等

知识点：作图—复杂作图全等三角形的判定与性质

如图，在由边长为 $1$ 个单位长度的小正方形组成的网格中，点 $A ， B ， C ， D$ 均为格点（网格线的交点）．

（1）画出线段 $A B$ 关于直线 $C D$ 对称的线段 $A_{1} B_{1}$ ；

（2）将线段 $A B$ 向左平移 $2$ 个单位长度，再向上平移 $1$ 个单位长度，得到线段 $A_{2} B_{2}$ ，画出线段 $A_{2} B_{2}$ ；

（3）描出线段 $A B$ 上的点 $M$ 及直线 $C D$ 上的点 $N$ ，使得直线 $M N$ 垂直平分 $A B$ ．

尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：

如图，已知线段 $m ， n$ ．求作 $△ A B C$ ，使 $∠ A ＝ 90 °$ ， $A B ＝ m$ ， $B C ＝ n$ ．

如图，在 $10 \times 10$ 的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中 $△ A B C$ 为格点三角形．请按要求作图，不需证明．

（1）在图1中，作出与 $△ A B C$ 全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与 $△ A B C$ 有一条公共边，且不与 $△ A B C$ 重叠；

（2）在图2中，作出以 $B C$ 为对角线的所有格点菱形．

如图是由小正方形组成的 $9 \times 6$ 网格，每个小正方形的顶点叫做格点． $△ A B C$ 的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

（1）在图（1）中， $D ， E$ 分别是边 $A B ， A C$ 与网格线的交点．先将点 $B$ 绕点 $E$ 旋转 $180 °$ 得到点 $F$ ，画出点 $F$ ，再在 $A C$ 上画点 $G$ ，使 $D G ∥ B C$ ；

（2）在图（2）中， $P$ 是边 $A B$ 上一点， $∠ B A C ＝ α$ ．先将 $A B$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $2 α$ ，得到线段 $A H$ ，画出线段 $A H$ ，再画点 $Q$ ，使 $P ， Q$ 两点关于直线AC对称．

如图，在由边长为 $1$ 个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．

（1）将△ABC向上平移 $6$ 个单位，再向右平移 $2$ 个单位，得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转 $180 °$ ，得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．