品中华诗词，寻文化基因．某校举办了第二届中华诗词大赛，将该校-优题课

题文

“品中华诗词，寻文化基因”．某校举办了第二届“中华诗词大赛”，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制了如下不完整的频数分布统计表与频数分布直方图．

频数分布统计表

组别	成绩 $x$ （分）	人数	百分比
$A$	$60 ⩽ x < 70$	8	$20 %$
$B$	$70 ⩽ x < 80$	16	$m %$
$C$	$80 ⩽ x < 90$	$a$	$30 %$
$D$	$90 ⩽ x ⩽ 100$	4	$10 %$

请观察图表，解答下列问题：

（1）表中 $a =$ 　　， $m =$ 　　；

（2）补全频数分布直方图；

（3） $D$ 组的4名学生中，有1名男生和3名女生．现从中随机抽取2名学生参加市级竞赛，则抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为　　．

科目数学题型计算题难度中等

知识点：列表法与树状图法频数（率）分布表频数（率）分布直方图

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如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AB = 10$ ， $AC = 8$ ．线段 $AD$ 由线段 $AB$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $90 °$ 得到， $ΔEFG$ 由 $ΔABC$ 沿 $CB$ 方向平移得到，且直线 $EF$ 过点 $D$ ．

（1）求 $∠ BDF$ 的大小；

（2）求 $CG$ 的长．

先化简，再求值： $(\frac{2 m + 1}{m} - 1) \div \frac{m^{2} - 1}{m}$ ，其中 $m = \sqrt{3} + 1$ ．

解方程组： $\{\begin{matrix} x + y = 1 \\ 4 x + y = 10 \end{matrix}$ ．

(回顾）

如图1， $ΔABC$ 中， $∠ B = 30 °$ ， $AB = 3$ ， $BC = 4$ ，则 $ΔABC$ 的面积等于　　．

（探究）

图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有 $30 °$ 的角，较短的直角边长为 $a$ ；另一个含有 $45 °$ 的角，直角边长为 $b$ ，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形 $ABCD$ （如图 $3)$ ，用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出 $\sin 75 ° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ ，小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形 $EFGH$ （如图 $4)$ ，也推出 $\sin 75 ° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ ，请你写出小明或小丽推出 $\sin 75 ° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 的具体说理过程．

（应用）

在四边形 $ABCD$ 中， $AD / / BC$ ， $∠ D = 75 °$ ， $BC = 6$ ， $CD = 5$ ， $AD = 10$ （如图5）

（1）点 $E$ 在 $AD$ 上，设 $t = BE + CE$ ，求 $t^{2}$ 的最小值；

（2）点 $F$ 在 $AB$ 上，将 $ΔBCF$ 沿 $CF$ 翻折，点 $B$ 落在 $AD$ 上的点 $G$ 处，点 $G$ 是 $AD$ 的中点吗？说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $OABC$ 的边 $OA$ 、 $OC$ 分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴上，点 $B$ 坐标为 $(4$ ， $t) (t > 0)$ ，二次函数 $y = x^{2} + bx (b < 0)$ 的图象经过点 $B$ ，顶点为点 $D$ ．

（1）当 $t = 12$ 时，顶点 $D$ 到 $x$ 轴的距离等于　　；

（2）点 $E$ 是二次函数 $y = x^{2} + bx (b < 0)$ 的图象与 $x$ 轴的一个公共点（点 $E$ 与点 $O$ 不重合），求 $OE \cdot EA$ 的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；

（3）矩形 $OABC$ 的对角线 $OB$ 、 $AC$ 交于点 $F$ ，直线 $l$ 平行于 $x$ 轴，交二次函数 $y = x^{2} + bx (b < 0)$ 的图象于点 $M$ 、 $N$ ，连接 $DM$ 、 $DN$ ，当 $ΔDMN ≅ ΔFOC$ 时，求 $t$ 的值．

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