一次函数ykxb(k≠0)的图象经过点A(2,−6)，且与反-优题课

一次函数 $y = kx + b (k \neq 0)$ 的图象经过点 $A (2, - 6)$ ，且与反比例函数 $y = - \frac{12}{x}$ 的图象交于点 $B (a, 4)$ ．

（1）求一次函数的解析式；

（2）将直线 $AB$ 向上平移10个单位后得到直线 $l : y_{1} = k_{1} x + b_{1} (k_{1} \neq 0)$ ， $l$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{6}{x}$ 的图象相交，求使 $y_{1} < y_{2}$ 成立的 $x$ 的取值范围．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：反比例函数与一次函数的交点问题一次函数图象与几何变换

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，过 $⊙ O$ 外一点 $P$ 作 $⊙ O$ 的两条切线 $PC$ ， $PD$ ，切点分别为 $C$ ， $D$ ，连接 $OP$ ， $CD$ ．

（1）求证： $OP ⊥ CD$ ；

（2）连接 $AD$ ， $BC$ ，若 $∠ DAB = 50 °$ ， $∠ CBA = 70 °$ ， $OA = 2$ ，求 $OP$ 的长．

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AB / / DC$ ， $AB = AD$ ，对角线 $AC$ ， $BD$ 交于点 $O$ ， $AC$ 平分 $∠ BAD$ ，过点 $C$ 作 $CE ⊥ AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $OE$ ．

（1）求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；

（2）若 $AB = \sqrt{5}$ ， $BD = 2$ ，求 $OE$ 的长．

关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + bx + 1 = 0$ ．

（1）当 $b = a + 2$ 时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 $a$ ， $b$ 的值，并求此时方程的根．

下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线 $l$ 及直线 $l$ 外一点 $P$ ．

求作：直线 $PQ$ ，使得 $PQ / / l$ ．

作法：如图，

①在直线 $l$ 上取一点 $A$ ，作射线 $PA$ ，以点 $A$ 为圆心， $AP$ 长为半径画弧，交 $PA$ 的延长线于点 $B$ ；

②在直线 $l$ 上取一点 $C$ （不与点 $A$ 重合），作射线 $BC$ ，以点 $C$ 为圆心， $CB$ 长为半径画弧，交 $BC$ 的延长线于点 $Q$ ；

③作直线 $PQ$ ．所以直线 $PQ$ 就是所求作的直线．

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明： $∵ AB =$ 　　， $CB =$ 　　，

$∴ PQ / / l ($ 　　 $)$ （填推理的依据）．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中的点 $P$ 和图形 $M$ ，给出如下的定义：若在图形 $M$ 上存在一点 $Q$ ，使得 $P$ 、 $Q$ 两点间的距离小于或等于1，则称 $P$ 为图形 $M$ 的关联点．

（1）当 $⊙ O$ 的半径为2时，

①在点 $P_{1} (\frac{1}{2}$ ， $0)$ ， $P_{2} (\frac{1}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $P_{3} (\frac{5}{2}$ ， $0)$ 中， $⊙ O$ 的关联点是　　．

②点 $P$ 在直线 $y = - x$ 上，若 $P$ 为 $⊙ O$ 的关联点，求点 $P$ 的横坐标的取值范围．

（2） $⊙ C$ 的圆心在 $x$ 轴上，半径为2，直线 $y = - x + 1$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ．若线段 $AB$ 上的所有点都是 $⊙ C$ 的关联点，直接写出圆心 $C$ 的横坐标的取值范围．