平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，横坐标为 $a$的点 $A$在反比例函数 $y_1==\frac{k}{x}(x>0)$的图象上，点 $A\text{'}$与点 $A$关于点 $O$对称，一次函数 $y_2=\mathit{mx}+n$的图象经过点 $A\text{'}$．

（1）设 $a=2$，点 $B(4,2)$在函数 $y_1$、 $y_2$的图象上．

①分别求函数 $y_1$、 $y_2$的表达式；

②直接写出使 $y_1>y_2>0$成立的 $x$的范围；

（2）如图①，设函数 $y_1$、 $y_2$的图象相交于点 $B$，点 $B$的横坐标为 $3a$，△ $A{A}^{\text{'}}B$的面积为16，求 $k$的值；

（3）设 $m=\frac{1}{2}$，如图②，过点 $A$作 $\mathit{AD}\perp x$轴，与函数 $y_2$的图象相交于点 $D$，以 $\mathit{AD}$为一边向右侧作正方形 $\mathit{ADEF}$，试说明函数 $y_2$的图象与线段 $\mathit{EF}$的交点 $P$一定在函数 $y_1$的图象上．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数与一次函数的交点问题