放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯-优题课

放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．

（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；

（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二元一次方程组的应用

如图，在平面直角坐标系中，直角 $ΔABC$ 的三个顶点分别是 $A (- 3, 1)$ ， $B (0, 3)$ ， $C (0, 1)$

（1）将 $ΔABC$ 以点 $C$ 为旋转中心旋转 $180 °$ ，画出旋转后对应的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）分别连接 $A B_{1}$ 、 $B A_{1}$ 后，求四边形 $A B_{1} A_{1} B$ 的面积．

已知抛物线 $C : y = x^{2} - 3 x + m$ ，直线 $l : y = kx (k > 0)$ ，当 $k = 1$ 时，抛物线 $C$ 与直线 $l$ 只有一个公共点．

（1）求 $m$ 的值；

（2）若直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于不同的两点 $A$ ， $B$ ，直线 $l$ 与直线 $l_{1} : y = - 3 x + b$ 交于点 $P$ ，且 $\frac{1}{OA} + \frac{1}{OB} = \frac{2}{OP}$ ，求 $b$ 的值；

（3）在（2）的条件下，设直线 $l_{1}$ 与 $y$ 轴交于点 $Q$ ，问：是否在实数 $k$ 使 $S_{ΔAPQ} = S_{ΔBPQ}$ ？若存在，求 $k$ 的值，若不存在，说明理由．

某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 $x$ 米．

（1）若苗圃园的面积为72平方米，求 $x$ ；

（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；

（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出 $x$ 的取值范围．

问题引入：

（1）如图①，在 $ΔABC$ 中，点 $O$ 是 $∠ ABC$ 和 $∠ ACB$ 平分线的交点，若 $∠ A = α$ ，则 $∠ BOC =$ 　　（用 $α$ 表示）；如图②， $∠ CBO = \frac{1}{3} ∠ ABC$ ， $∠ BCO = \frac{1}{3} ∠ ACB$ ， $∠ A = α$ ，则 $∠ BOC =$ 　　（用 $α$ 表示）

拓展研究：

（2）如图③， $∠ CBO = \frac{1}{3} ∠ DBC$ ， $∠ BCO = \frac{1}{3} ∠ ECB$ ， $∠ A = α$ ，请猜想 $∠ BOC =$ 　　（用 $α$ 表示），并说明理由．

类比研究：

（3） $BO$ 、 $CO$ 分别是 $ΔABC$ 的外角 $∠ DBC$ 、 $∠ ECB$ 的 $n$ 等分线，它们交于点 $O$ ， $∠ CBO = \frac{1}{n} ∠ DBC$ ， $∠ BCO = \frac{1}{n} ∠ ECB$ ， $∠ A = α$ ，请猜想 $∠ BOC =$ 　　．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ， $AC$ 的垂直平分线分别与 $AC$ ， $BC$ 及 $AB$ 的延长线相交于点 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $⊙ O$ 是 $ΔBEF$ 的外接圆， $∠ EBF$ 的平分线交 $EF$ 于点 $G$ ，交 $⊙ O$ 于点 $H$ ，连接 $BD$ 、 $FH$ ．

（1）试判断 $BD$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）当 $AB = BE = 1$ 时，求 $⊙ O$ 的面积；

（3）在（2）的条件下，求 $HG \cdot HB$ 的值．