阅读与思考如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的-优题课

阅读与思考

如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．

$\times$ 年 $\times$ 月 $\times$ 日星期日

没有直角尺也能作出直角

今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线 $AB$ ，现根据木板的情况，要过 $AB$ 上的一点 $C$ ，作出 $AB$ 的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？

办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在 $AB$ 上量出 $CD = 30 cm$ ，然后分别以 $D$ ， $C$ 为圆心，以 $50 cm$ 与 $40 cm$ 为半径画圆弧，两弧相交于点 $E$ ，作直线 $CE$ ，则 $∠ DCE$ 必为 $90 °$ ．

办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出 $M$ ， $N$ 两点，然后把木棒斜放在木板上，使点 $M$ 与点 $C$ 重合，用铅笔在木板上将点 $N$ 对应的位置标记为点 $Q$ ，保持点 $N$ 不动，将木棒绕点 $N$ 旋转，使点 $M$ 落在 $AB$ 上，在木板上将点 $M$ 对应的位置标记为点 $R$ ．然后将 $RQ$ 延长，在延长线上截取线段 $QS = MN$ ，得到点 $S$ ，作直线 $SC$ ，则 $∠ RCS = 90 °$ ．

我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？ $\dots \dots$

任务：

（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是　　；

（2）根据“办法二”的操作过程，证明 $∠ RCS = 90 °$ ；

（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点 $C$ 作出 $AB$ 的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；

②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：作图—基本作图线段垂直平分线的性质直角三角形的性质勾股定理的逆定理