如图，在RtΔABC中，∠BAC90°，ABAC，点D是BC-优题课

题文

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ， $AB = AC$ ，点 $D$ 是 $BC$ 边上一动点，连接 $AD$ ，把 $AD$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到 $AE$ ，连接 $CE$ ， $DE$ ．点 $F$ 是 $DE$ 的中点，连接 $CF$ ．

（1）求证： $CF = \frac{\sqrt{2}}{2} AD$ ；

（2）如图2所示，在点 $D$ 运动的过程中，当 $BD = 2 CD$ 时，分别延长 $CF$ ， $BA$ ，相交于点 $G$ ，猜想 $AG$ 与 $BC$ 存在的数量关系，并证明你猜想的结论；

（3）在点 $D$ 运动的过程中，在线段 $AD$ 上存在一点 $P$ ，使 $PA + PB + PC$ 的值最小．当 $PA + PB + PC$ 的值取得最小值时， $AP$ 的长为 $m$ ，请直接用含 $m$ 的式子表示 $CE$ 的长．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：旋转的性质解直角三角形全等三角形的判定与性质等腰直角三角形

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设 $a, b, c, d$ 为四个不同的实数，若 $a, b$ 为方程 $x^{2} - 10 cx - 11 d = 0$ 的根， $c, d$ 为方程 $x^{2} - 10 ax - 11 b = 0$ 的根，求 $a + b + c + d$ 的值.

若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (a - 3) x + a - 2 = 0$ 有两个不相等的整数根，求 $a$ 的值.

定义:如果一元二次方程 $a x^{2} + bx + c = 0 (a \neq 0)$ 满足 $a + b + c = 0$ ，那么我们称这个方程为“凤凰方程”，已知 $a x^{2} + bx + c = 0 (a \neq 0)$ 是“凤凰方程”，且有两个相等的实数根，求 $a, b, c$ 之间的关系.

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + k^{2} + k = 0$ .

（1）求证:无论 $k$ 取何值，方程都有两个不相等的实数根.

（2）如果方程的两个实数根为 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $k$ 与 $\frac{x_{1}}{x_{2}}$ 都为整数，求 $k$ 所有可能的值.

设 $m$ 是不小于 $- 1$ 的实数，关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 2 (m - 2) x + m^{2} - 3 m + 3 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}, x_{2}$ .

（1）若 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 6$ ，求 $m$ 的值；

（2）求 $\frac{m x_{1}^{2}}{1 - x_{1}} + \frac{m x_{2}^{2}}{1 - x_{2}}$ 的最大值.

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