如图，在RtΔABC中，∠BAC90°，ABAC，点D是BC-优题课

题文

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ， $AB = AC$ ，点 $D$ 是 $BC$ 边上一动点，连接 $AD$ ，把 $AD$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到 $AE$ ，连接 $CE$ ， $DE$ ．点 $F$ 是 $DE$ 的中点，连接 $CF$ ．

（1）求证： $CF = \frac{\sqrt{2}}{2} AD$ ；

（2）如图2所示，在点 $D$ 运动的过程中，当 $BD = 2 CD$ 时，分别延长 $CF$ ， $BA$ ，相交于点 $G$ ，猜想 $AG$ 与 $BC$ 存在的数量关系，并证明你猜想的结论；

（3）在点 $D$ 运动的过程中，在线段 $AD$ 上存在一点 $P$ ，使 $PA + PB + PC$ 的值最小．当 $PA + PB + PC$ 的值取得最小值时， $AP$ 的长为 $m$ ，请直接用含 $m$ 的式子表示 $CE$ 的长．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：旋转的性质解直角三角形全等三角形的判定与性质等腰直角三角形

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（本题6分）一只不透明的口袋中放着若干个黄球和绿球，这两种球除了颜色之外没有其它任何区别，袋中的球已经搅匀，从口袋中取出一个球取出黄球的概率为。
（1）取出绿球的概率是多少？
（2）如果袋中的黄球有12个，那么袋中的绿球有多少个？

（本题12分）如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且BE=2CE；F为AB上一动点，BF=nAF，

（1）若n=1，则=，=；
（2）若n=2，求证：8AP=3PE
（3）当n=_____时，AE⊥DF（直接填出结果）

（本题12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．

（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．

（本题12分）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．

（1）求证：△FOE≌△DOC；
（2）求sin∠OEF的值；
（3）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求的值．

（本题12分）已知关于的方程.
（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）能否找到一个实数，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出的值；若不能，请说明理由．
（3）当等腰三角形ABC的边长，另两边的长恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．

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