已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CEBC-优题课

已知：如图， $E$ 是 $▱ ABCD$ 的边 $BC$ 延长线上的一点，且 $CE = BC$ ．

求证： $ΔABC ≅ ΔDCE$ ．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：平行四边形的性质全等三角形的判定与性质

在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知 $\hat{AB}$ ， $C$ 是弦 $AB$ 上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；

①作线段 $AC$ 的垂直平分线 $DE$ ，分别交 $\hat{AB}$ 于点 $D$ ， $AC$ 于点 $E$ ，连接 $AD$ ， $CD$ ；

②以点 $D$ 为圆心， $DA$ 长为半径作弧，交 $\hat{AB}$ 于点 $F (F$ ， $A$ 两点不重合），连接 $DF$ ， $BD$ ， $BF$ ．

（2）直接写出引理的结论：线段 $BC$ ， $BF$ 的数量关系．

先化简，再求值： $(2 - \frac{2 x}{x - 2}) \div \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4 x + 4}$ ，其中 $x = 4$ ．

计算： ${(2021 - π)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - 2 \cos 45 °$ ．

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴只有一个公共点．

（1）若抛物线过点 $P (0, 1)$ ，求 $a + b$ 的最小值；

（2）已知点 $P_{1} (- 2, 1)$ ， $P_{2} (2, - 1)$ ， $P_{3} (2, 1)$ 中恰有两点在抛物线上．

①求抛物线的解析式；

②设直线 $l : y = kx + 1$ 与抛物线交于 $M$ ， $N$ 两点，点 $A$ 在直线 $y = - 1$ 上，且 $∠ MAN = 90 °$ ，过点 $A$ 且与 $x$ 轴垂直的直线分别交抛物线和 $l$ 于点 $B$ ， $C$ ．求证： $ΔMAB$ 与 $ΔMBC$ 的面积相等．

如图，在正方形 $ABCD$ 中， $E$ ， $F$ 为边 $AB$ 上的两个三等分点，点 $A$ 关于 $DE$ 的对称点为 $A'$ ， $AA'$ 的延长线交 $BC$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $DE / / A' F$ ；

（2）求 $∠ GA' B$ 的大小；

（3）求证： $A' C = 2 A' B$ ．

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