已知菱形的周长为45，两条对角线长的和为6，则菱形的面积为．-优题课

如图，点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别在矩形 $ABCD$ 的边 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ 、 $DA$ （不包括端点）上运动，且满足 $AE = CG$ ， $AH = CF$ ．

（1）求证： $ΔAEH ≅ ΔCGF$ ；

（2）试判断四边形 $EFGH$ 的形状，并说明理由．

（3）请探究四边形 $EFGH$ 的周长一半与矩形 $ABCD$ 一条对角线长的大小关系，并说明理由．

如图，点 $D$ 在以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上， $AD$ 平分 $∠ BAC$ ， $DC ⊥ AC$ ，过点 $B$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $AD$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证：直线 $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）求证： $CD \cdot BE = AD \cdot DE$ ．

某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表所示：

类别	成本价（元 $/$ 箱）	销售价（元 $/$ 箱）
甲	25	35
乙	35	48

求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？

（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？

如图，某建筑物 $CD$ 高96米，它的前面有一座小山，其斜坡 $AB$ 的坡度为 $i = 1 : 1$ ．为了测量山顶 $A$ 的高度，在建筑物顶端 $D$ 处测得山顶 $A$ 和坡底 $B$ 的俯角分别为 $α$ 、 $β$ ．已知 $\tan α = 2$ ， $\tan β = 4$ ，求山顶 $A$ 的高度 $AE (C$ 、 $B$ 、 $E$ 在同一水平面上）．

湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．深化高考综合改革，承载着广大考生的美好期盼，事关千家万户的切身利益，社会关注度高．为了了解我市某小区居民对此政策的关注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制作了如下统计图表：

关注程度	频数	频率
$A$ ．高度关注	$m$	0.4
$B$ ．一般关注	100	0.5
$C$ ．没有关注	20	$n$

（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为　　， $m =$ 　　， $n =$ 　　．

（2）根据以上信息补全图中的条形统计图．

（3）请估计在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？