（1）阅读理解我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我-优题课

（1）阅读理解

我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．

根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；

（2）问题解决

勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形 $ACDE$ 的中心 $O$ ，作 $FG ⊥ HP$ ，将它分成4份，所分成的四部分和以 $BC$ 为边的正方形恰好能拼成以 $AB$ 为边的正方形．若 $AC = 12$ ， $BC = 5$ ，求 $EF$ 的值；

（3）拓展探究

如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形 $N$ 的边长为定值 $n$ ，小正方形 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ．

已知 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3 = α$ ，当角 $α (0 ° < α < 90 °)$ 变化时，探究 $b$ 与 $c$ 的关系式，并写出该关系式及解答过程 $(b$ 与 $c$ 的关系式用含 $n$ 的式子表示）．

科目数学题型解答题难度困难

知识点：相似三角形的判定与性质勾股定理的证明

某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年365天中随机抽取了80天的空气质量指数（AQI）数据，绘制出三幅不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息解答下列问题：

AQI指数	质量等级	天数（天）
$0 ﹣ 50$	优	m
$51 ﹣ 100$	良	44
$101 ﹣ 150$	轻度污染	n
$151 ﹣ 200$	中度污染	4
$201 ﹣ 300$	重度污染	2
300以上	严重污染	2

（1 ）统计表中m＝　　，n＝　　．扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数占　　%；

（2）补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少天？

（3）据调查，严重污染的2天发生在春节期间，燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因，据此，请你提出一条合理化建议．

我市某学校开展“远足君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．

已知不等式组 $\{\begin{matrix} 3 x + 4 > x① \\ \frac{4}{3} x \leq x + \frac{2}{3} ② \end{matrix}$

（1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；

（2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为正数的概率．

已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且 $BE ＝ CF$ ， $EF ⊥ DF$ ，求证： $BF ＝ CD$ ．

问题探究：

1．新知学习

若把将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“面线”，其“面线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“面径”（例如圆的直径就是圆的“面径”）．

2．解决问题

已知等边三角形ABC的边长为2．

（1）如图一，若 $AD ⊥ BC$ ，垂足为D，试说明AD是△ABC的一条面径，并求AD的长；

（2）如图二，若 $ME ∥ BC$ ，且ME是△ABC的一条面径，求面径ME的长；

（3）如图三，已知D为BC的中点，连接AD，M为AB上的一点 $（ 0 ＜ AM ＜ 1 ）$ ，E是DC上的一点，连接ME，ME与AD交于点O，且 $S_{△ MOA} ＝ S_{△ DOE}$ ．

①求证：ME是△ABC的面径；

②连接AE，求证： $MD ∥ AE$ ；

（4）请你猜测等边三角形ABC的面径长l的取值范围（直接写出结果）