如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点-优题课

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题文

如图1，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是边 $BC$ 上一点，且点 $E$ 不与点 $B$ 、 $C$ 重合，点 $F$ 是 $BA$ 的延长线上一点，且 $AF = CE$ ．

（1）求证： $ΔDCE ≅ ΔDAF$ ；

（2）如图2，连接 $EF$ ，交 $AD$ 于点 $K$ ，过点 $D$ 作 $DH ⊥ EF$ ，垂足为 $H$ ，延长 $DH$ 交 $BF$ 于点 $G$ ，连接 $HB$ ， $HC$ ．

①求证： $HD = HB$ ；

②若 $DK \cdot HC = \sqrt{2}$ ，求 $HE$ 的长．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：相似三角形的判定与性质全等三角形的判定与性质正方形的性质

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某校为了解九年级学生的身体状况，在九年级四个班的160名学生中，按比例抽取部分学生进行“引体向上”测试．所有被测试者的“引体向上”次数统计如表；各班被测试人数占所有被测试人数的百分比如扇形图（九年四班相关数据未标出）．
（1）九年四班中参加本次测试的学生的人数是多少？
（2）求本次测试获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）估计该校九年级“引体向上”次数6次以上（不含6次）的有多少人？

次数	3	4	5	6	7	8	9	10
人数	2	3	5	3	2	2	1	2

如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE、BD且AE=AB．
（1）求证：∠ABE=∠EAD；
（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．

解方程：x²﹣4x=5．

如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．
（1）平行四边形有　_________　条面积等分线；
（2）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S_△ABC＜S_△ACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由　_________　．

提出问题：如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC与点E，求证：PB=PE
分析问题：学生甲：如图1，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N通过证明两三角形全等，进而证明两条线段相等．
学生乙：连接DP，如图2，很容易证明PD=PB，然后再通过“等角对等边”证明PE=PD，就可以证明PB=PE了．
解决问题：请你选择上述一种方法给予证明．
问题延伸：如图3，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，PB=PE还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

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