2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率 $\pi$精确到小数点后第七位的人，他给出 $\pi$的两个分数形式： $\frac{22}{7}$（约率）和 $\frac{355}{113}$（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数 $x$的不足近似值和过剩近似值分别为 $\frac{b}{a}$和 $\frac{d}{c}$（即有 $\frac{b}{a}<x<\frac{d}{c}$，其中 $a$， $b$， $c$， $d$为正整数），则 $\frac{b+d}{a+c}$是 $x$的更为精确的近似值．例如：已知 $\frac{157}{50}<\pi <\frac{22}{7}$，则利用一次“调日法”后可得到 $\pi$的一个更为精确的近似分数为： $\frac{157+22}{50+7}=\frac{179}{57}$；由于 $\frac{179}{57}\approx 3.1404<\pi$，再由 $\frac{179}{57}<\pi <\frac{22}{7}$，可以再次使用“调日法”得到 $\pi$的更为精确的近似分数 $\dots$现已知 $\frac{7}{5}<\sqrt{2}<\frac{3}{2}$，则使用两次“调日法”可得到 $\sqrt{2}$的近似分数为 　　．

科目 数学   题型 填空题   难度 较难

知识点： 估算无理数的大小