在平面直角坐标系中，抛物线y1(x4)(xn)与x轴交于点A-优题课

题文

在平面直角坐标系中，抛物线 $y_{1} = - (x + 4) (x - n)$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B (n$ ， $0) (n ⩾ - 4)$ ，顶点坐标记为 $(h_{1}$ ， $k_{1})$ ．抛物线 $y_{2} = - {(x + 2 n)}^{2} - n^{2} + 2 n + 9$ 的顶点坐标记为 $(h_{2}$ ， $k_{2})$ ．

（1）写出 $A$ 点坐标；

（2）求 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的值（用含 $n$ 的代数式表示）

（3）当 $- 4 ⩽ n ⩽ 4$ 时，探究 $k_{1}$ 与 $k_{2}$ 的大小关系；

（4）经过点 $M (2 n + 9, - 5 n^{2})$ 和点 $N (2 n, 9 - 5 n^{2})$ 的直线与抛物线 $y_{1} = - (x + 4) (x - n)$ ， $y_{2} = - {(x + 2 n)}^{2} - n^{2} + 2 n + 9$ 的公共点恰好为3个不同点时，求 $n$ 的值．

科目数学题型解答题难度困难

知识点：二次函数的性质抛物线与x轴的交点二次函数综合题

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已知，关于x的二次函数，（k为正整数）.

（1）若二次函数的图象与x轴有两个交点，求k的值.
（2）若关于x的一元二次方程（k为正整数）有两个不相等的整数解，点A（m，y₁），B（m+1，y₂），C（m+2，y₃）都在二次函数（k为正整数）图象上，求使y₁≤y₂≤y₃成立的m的取值范围.
（3）将（2）中的抛物线平移，当顶点至原点时，直线y=2x+b交抛物线于A(-1，n)、B(2，t)两点，问在y轴上是否存在一点C，使得△ABC的内心在y轴上.若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC=4，∠OAC=60°.

（1）求∠AOC的度数；
（2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且，求证：PC为⊙O的切线.
（3）如图（2），一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动一周（点M不与点C重合），当时，求动点M所经过的弧长.

如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12），动点P，Q分别从O、B两点同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q同时停止运动.线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，设动点P、Q运动时间为t（单位：s）

（1）当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形，请写出推理过程；
（2）通过推理论证：在P、Q的运动过程中，线段DE的长度不变；

正常水位时，抛物线拱桥下的水面宽为BC=20m，水面上升3m达到该地警戒水位DE时，桥下水面宽为10m.若以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.

（1）求桥孔抛物线的函数关系式；
（2）如果水位以0.2m/h的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没；
（3）当达到警戒水位时，一艘装有防汛器材的船，露出水面部分的宽为4m，高为0.75m，通过计算说明该船能否顺利通过此拱桥？

如图，在□ABCD中，EF垂直平分AC交BC于E，交AD于F.

（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AC⊥CD，AB=6，BC=10，求四边形AECF的面积.

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