如图，正比例函数y12x与反比例函数ykx(x<0)的图象交-优题课

如图，正比例函数 $y = \frac{1}{2} x$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $AB ⊥ y$ 轴于点 $B$ ， $OB = 4$ ，点 $C$ 在线段 $AB$ 上，且 $AC = OC$ ．

（1）求 $k$ 的值及线段 $BC$ 的长；

（2）点 $P$ 为 $B$ 点上方 $y$ 轴上一点，当 $ΔPOC$ 与 $ΔPAC$ 的面积相等时，请求出点 $P$ 的坐标．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数综合题

对于任意实数 $a$ ， $b$ ，定义关于“ $\otimes$ ”的一种运算如下： $a \otimes b = 2 a - b$ ．例如： $5 \otimes 2 = 2 \times 5 - 2 = 8$ ， $(- 3) \otimes 4 = 2 \times (- 3) - 4 = - 10$ ．

（1）若 $3 \otimes x = - 2011$ ，求 $x$ 的值；

（2）若 $x \otimes 3 < 5$ ，求 $x$ 的取值范围．

如图，已知 $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ，点 $C$ 在劣弧 $AB$ 上（不与点 $A$ ， $B$ 重合），点 $D$ 为弦 $BC$ 的中点， $DE ⊥ BC$ ， $DE$ 与 $AC$ 的延长线交于点 $E$ ，射线 $AO$ 与射线 $EB$ 交于点 $F$ ，与 $⊙ O$ 交于点 $G$ ，设 $∠ GAB = α$ ， $∠ ACB = β$ ， $∠ EAG + ∠ EBA = γ$ ，

（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：

$α$	$30 °$	$40 °$	$50 °$	$60 °$
$β$	$120 °$	$130 °$	$140 °$	$150 °$
$γ$	$150 °$	$140 °$	$130 °$	$120 °$

猜想： $β$ 关于 $α$ 的函数表达式， $γ$ 关于 $α$ 的函数表达式，并给出证明；

（2）若 $γ = 135 °$ ， $CD = 3$ ， $ΔABE$ 的面积为 $ΔABC$ 的面积的4倍，求 $⊙ O$ 半径的长．

在平面直角坐标系中，设二次函数 $y_{1} = (x + a) (x - a - 1)$ ，其中 $a \neq 0$ ．

（1）若函数 $y_{1}$ 的图象经过点 $(1, - 2)$ ，求函数 $y_{1}$ 的表达式；

（2）若一次函数 $y_{2} = ax + b$ 的图象与 $y_{1}$ 的图象经过 $x$ 轴上同一点，探究实数 $a$ ， $b$ 满足的关系式；

（3）已知点 $P (x_{0}$ ， $m)$ 和 $Q (1, n)$ 在函数 $y_{1}$ 的图象上，若 $m < n$ ，求 $x_{0}$ 的取值范围．

如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $G$ 在对角线 $BD$ 上（不与点 $B$ ， $D$ 重合）， $GE ⊥ DC$ 于点 $E$ ， $GF ⊥ BC$ 于点 $F$ ，连接 $AG$ ．

（1）写出线段 $AG$ ， $GE$ ， $GF$ 长度之间的数量关系，并说明理由；

（2）若正方形 $ABCD$ 的边长为1， $∠ AGF = 105 °$ ，求线段 $BG$ 的长．

在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．

（1）设矩形的相邻两边长分别为 $x$ ， $y$ ．

①求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；

②当 $y ⩾ 3$ 时，求 $x$ 的取值范围；

（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？