如图，一次函数yaxb的图象与反比例函数ykx的图象交于点A-优题课

如图，一次函数 $y = ax + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于点 $A$ 、 $B$ ，与 $x$ 轴交于点 $C (5, 0)$ ，若 $OC = AC$ ，且 $S_{ΔOAC} = 10$ ．

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）请直接写出不等式 $ax + b > \frac{k}{x}$ 的解集．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：反比例函数的性质待定系数法求反比例函数解析式反比例函数与一次函数的交点问题

下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线 $l$ 及直线 $l$ 外一点 $P$ ．

求作：直线 $PQ$ ，使得 $PQ / / l$ ．

作法：如图，

①在直线 $l$ 上取一点 $A$ ，作射线 $PA$ ，以点 $A$ 为圆心， $AP$ 长为半径画弧，交 $PA$ 的延长线于点 $B$ ；

②在直线 $l$ 上取一点 $C$ （不与点 $A$ 重合），作射线 $BC$ ，以点 $C$ 为圆心， $CB$ 长为半径画弧，交 $BC$ 的延长线于点 $Q$ ；

③作直线 $PQ$ ．所以直线 $PQ$ 就是所求作的直线．

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明： $∵ AB =$ 　　， $CB =$ 　　，

$∴ PQ / / l ($ 　　 $)$ （填推理的依据）．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中的点 $P$ 和图形 $M$ ，给出如下的定义：若在图形 $M$ 上存在一点 $Q$ ，使得 $P$ 、 $Q$ 两点间的距离小于或等于1，则称 $P$ 为图形 $M$ 的关联点．

（1）当 $⊙ O$ 的半径为2时，

①在点 $P_{1} (\frac{1}{2}$ ， $0)$ ， $P_{2} (\frac{1}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $P_{3} (\frac{5}{2}$ ， $0)$ 中， $⊙ O$ 的关联点是　　．

②点 $P$ 在直线 $y = - x$ 上，若 $P$ 为 $⊙ O$ 的关联点，求点 $P$ 的横坐标的取值范围．

（2） $⊙ C$ 的圆心在 $x$ 轴上，半径为2，直线 $y = - x + 1$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ．若线段 $AB$ 上的所有点都是 $⊙ C$ 的关联点，直接写出圆心 $C$ 的横坐标的取值范围．

在等腰直角 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $P$ 是线段 $BC$ 上一动点（与点 $B$ 、 $C$ 不重合），连接 $AP$ ，延长 $BC$ 至点 $Q$ ，使得 $CQ = CP$ ，过点 $Q$ 作 $QH ⊥ AP$ 于点 $H$ ，交 $AB$ 于点 $M$ ．

（1）若 $∠ PAC = α$ ，求 $∠ AMQ$ 的大小（用含 $α$ 的式子表示）．

（2）用等式表示线段 $MB$ 与 $PQ$ 之间的数量关系，并证明．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求直线 $BC$ 的表达式；

（2）垂直于 $y$ 轴的直线 $l$ 与抛物线交于点 $P (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $Q (x_{2}$ ， $y_{2})$ ，与直线 $BC$ 交于点 $N (x_{3}$ ， $y_{3})$ ，若 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，结合函数的图象，求 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围．

如图， $P$ 是 $\hat{AB}$ 所对弦 $AB$ 上一动点，过点 $P$ 作 $PM ⊥ AB$ 交 $\hat{AB}$ 于点 $M$ ，连接 $MB$ ，过点 $P$ 作 $PN ⊥ MB$ 于点 $N$ ．已知 $AB = 6 cm$ ，设 $A$ 、 $P$ 两点间的距离为 $xcm$ ， $P$ 、 $N$ 两点间的距离为 $ycm$ ．（当点 $P$ 与点 $A$ 或点 $B$ 重合时， $y$ 的值为 $0)$

小东根据学习函数的经验，对函数 $y$ 随自变量 $x$ 的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小东的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量，得到了 $x$ 与 $y$ 的几组值，如下表：

$x / cm$	0	1	2	3	4	5	6
$y / cm$	0	2.0	2.3	2.1		0.9	0

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）

（2）建立平面直角坐标系，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．

（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 $ΔPAN$ 为等腰三角形时， $AP$ 的长度约为　　 $cm$ ．