如图，抛物线 $y=(x+1)(x-a)$ （其中 $a>1)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

（1）写出 $\angle \mathit{OCA}$ 的度数和线段 $\mathit{AB}$ 的长（用 $a$ 表示）；

（2）若点 $D$ 为 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外心，且 $\mathit{\Delta BCD}$ 与 $\mathit{\Delta ACO}$ 的周长之比为 $\sqrt{10}:4$ ，求此抛物线的解析式；

（3）在（2）的前提下，试探究抛物线 $y=(x+1)(x-a)$ 上是否存在一点 $P$ ，使得 $\angle \mathit{CAP}=\angle \mathit{DBA}$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 困难

知识点： 二次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 二次函数综合题