问题：如图，在▱ABCD中，AB8，AD5，∠DAB，∠AB-优题课

问题：如图，在 $▱ ABCD$ 中， $AB = 8$ ， $AD = 5$ ， $∠ DAB$ ， $∠ ABC$ 的平分线 $AE$ ， $BF$ 分别与直线 $CD$ 交于点 $E$ ， $F$ ，求 $EF$ 的长．

答案： $EF = 2$ ．

探究：（1）把"问题"中的条件" $AB = 8$ "去掉，其余条件不变．

①当点 $E$ 与点 $F$ 重合时，求 $AB$ 的长；

②当点 $E$ 与点 $C$ 重合时，求 $EF$ 的长．

（2）把"问题"中的条件" $AB = 8$ ， $AD = 5$ "去掉，其余条件不变，当点 $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 相邻两点间的距离相等时，求 $\frac{AD}{AB}$ 的值．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：平行线分线段成比例平行四边形的性质

小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：

求解体验：

（1）已知抛物线 $y = - x^{2} + bx - 3$ 经过点 $(- 1, 0)$ ，则 $b =$ 　　，顶点坐标为　　，该抛物线关于点 $(0, 1)$ 成中心对称的抛物线表达式是　　．

抽象感悟：

我们定义：对于抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ ，以 $y$ 轴上的点 $M (0, m)$ 为中心，作该抛物线关于点 $M$ 中心对称的抛物线 $y'$ ，则我们又称抛物线 $y'$ 为抛物线 $y$ 的“衍生抛物线”，点 $M$ 为“衍生中心”．

（2）已知抛物线 $y = - x^{2} - 2 x + 5$ 关于点 $(0, m)$ 的衍生抛物线为 $y'$ ，若这两条抛物线有交点，求 $m$ 的取值范围．

问题解决：

（3）已知抛物线 $y = a x^{2} + 2 ax - b (a \neq 0)$

①若抛物线 $y$ 的衍生抛物线为 $y' = b x^{2} - 2 bx + a^{2} (b \neq 0)$ ，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 $a$ 、 $b$ 的值及衍生中心的坐标；

②若抛物线 $y$ 关于点 $(0, k + 1^{2})$ 的衍生抛物线为 $y_{1}$ ，其顶点为 $A_{1}$ ；关于点 $(0, k + 2^{2})$ 的衍生抛物线为 $y_{2}$ ，其顶点为 $A_{2}$ ； $\dots$ ；关于点 $(0, k + n^{2})$ 的衍生抛物线为 $y_{n}$ ，其顶点为 $A_{n} \dots (n$ 为正整数）．求 $A_{n} A_{n + 1}$ 的长（用含 $n$ 的式子表示）．

在菱形 $ABCD$ 中， $∠ ABC = 60 °$ ，点 $P$ 是射线 $BD$ 上一动点，以 $AP$ 为边向右侧作等边 $ΔAPE$ ，点 $E$ 的位置随着点 $P$ 的位置变化而变化．

（1）如图1，当点 $E$ 在菱形 $ABCD$ 内部或边上时，连接 $CE$ ， $BP$ 与 $CE$ 的数量关系是　　， $CE$ 与 $AD$ 的位置关系是　　；

（2）当点 $E$ 在菱形 $ABCD$ 外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；

（3）如图4，当点 $P$ 在线段 $BD$ 的延长线上时，连接 $BE$ ，若 $AB = 2 \sqrt{3}$ ， $BE = 2 \sqrt{19}$ ，求四边形 $ADPE$ 的面积．

某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元 $/$ 千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量 $y$ （千克）与销售单价 $x$ （元 $/$ 千克）之间的函数关系如图所示．

（1）求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围；

（2）当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？

（3）某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．

如图，在 $ΔABC$ 中， $O$ 为 $AC$ 上一点，以点 $O$ 为圆心， $OC$ 为半径做圆，与 $BC$ 相切于点 $C$ ，过点 $A$ 作 $AD ⊥ BO$ 交 $BO$ 的延长线于点 $D$ ，且 $∠ AOD = ∠ BAD$ ．

（1）求证： $AB$ 为 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BC = 6$ ， $\tan ∠ ABC = \frac{4}{3}$ ，求 $AD$ 的长．

图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关．图2是其俯视简化示意图，已知轨道 $AB = 120 cm$ ，两扇活页门的宽 $OC = OB = 60 cm$ ，点 $B$ 固定，当点 $C$ 在 $AB$ 上左右运动时， $OC$ 与 $OB$ 的长度不变．（所有的结果保留小数点后一位）

（1）若 $∠ OBC = 50 °$ ，求 $AC$ 的长；

（2）当点 $C$ 从点 $A$ 向右运动 $60 cm$ 时，求点 $O$ 在此过程中运动的路径长．

参考数据： $\sin 50 ° \approx 0.77$ ． $\cos 50 ° \approx 0.64$ ， $\tan 50 ° \approx 1.19$ ， $π$ 取3.14．