如下图，已知正方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$的棱长为２，点Ｅ是正方形 $\mathit{BC}{C}_1{B}_1$的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱 $C_1{D}_1,A{A}_1$的中点．设点 $E_1,G_1$分别是点Ｅ，Ｇ在平面 $\mathit{DC}{C}_1{D}_1$内的正投影．

（１）求以Ｅ为顶点，以四边形 $\mathit{FGAE}$在平面 $\mathit{DC}{C}_1{D}_1$内的正投影为底面边界的棱锥的体积；

（２）证明：直线 $F{G}_1\perp \mathit{平面}\mathit{FE}{E}_1$；

（３）求异面直线 $E_1{G}_1与\mathit{EA}$所成角的正弦值.

科目 数学   题型 解答题   难度 中等