为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ ．

（1）假设生产状态正常，记 X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 $(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$ 之外的零件数，求 $P(X\ge 1)$ 及 $X$ 的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 $(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$ 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

经计算得 $\bar{x}=\frac{1}{16}\underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}{x}_i=9.97$ ， $s=\sqrt{\frac{1}{16}\underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}(x_i-\bar{x}{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{16}(\underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}{x}_i^2-16{\bar{x}}^2{)}^2}\approx 0.212$ ，其中 $x_i$ 为抽取的第 $i$ 个零件的尺寸， $i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,16$ ．

用样本平均数 $\bar{x}$ 作为 $\mu$ 的估计值 $\stackrel{̂}{\mu }$ ，用样本标准差 $s$ 作为 $\sigma$ 的估计值 $\stackrel{̂}{\sigma }$ ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 $(\stackrel{̂}{\mu }-3\stackrel{̂}{\sigma },\stackrel{̂}{\mu }+3\stackrel{̂}{\sigma })$ 之外的数据，用剩下的数据估计 $\mu$ 和 $\sigma$ （精确到0.01）．

附：若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ ，则 $P(\mu -3\sigma <Z<\mu +3\sigma )=0.9974$ ，

$0.9974^{16}=0.9592$ ， $\sqrt{0.008}\approx 0.09$ ．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等