如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB2CD，E为AB-优题课

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AB / / CD$ ， $AB = 2 CD$ ， $E$ 为 $AB$ 的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．

（1）在图1中，画出 $ΔABD$ 的 $BD$ 边上的中线；

（2）在图2中，若 $BA = BD$ ，画出 $ΔABD$ 的 $AD$ 边上的高．

科目数学题型作图题难度中等

知识点：作图—复杂作图三角形的重心平行四边形的判定与性质

按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．

（1）如图1， $A$ 为 $⊙ O$ 上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出 $⊙ O$ 的内接正方形；

（2）我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．

请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．

①如图2，在 $▱ ABCD$ 中， $E$ 为 $CD$ 的中点，作 $BC$ 的中点 $F$ ．

②如图3，在由小正方形组成的 $4 \times 3$ 的网格中， $ΔABC$ 的顶点都在小正方形的顶点上，作 $ΔABC$ 的高 $AH$ ．

如图， $AB$ 为半圆 $O$ 的直径， $C$ 为半圆上一点， $AC < BC$ ．

（1）请用直尺（不含刻度）与圆规在 $BC$ 上作一点 $D$ ，使得直线 $OD$ 平分 $ABC$ 的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若 $AB = 10$ ， $OD = 2 \sqrt{5}$ ，求 $ΔABC$ 的面积．

如图， $ΔABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AC = 4$ ， $BC = 8$ ．

（1）用直尺和圆规作 $AB$ 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）若（1）中所作的垂直平分线交 $BC$ 于点 $D$ ，求 $BD$ 的长．

如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， $ΔOAB$ 的三个顶点 $O (0, 0)$ 、 $A (4, 1)$ 、 $B (4, 4)$ 均在格点上．

（1）画出 $ΔOAB$ 关于 $y$ 轴对称的△ $O A_{1} B_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ 的坐标；

（2）画出 $ΔOAB$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到的△ $O A_{2} B_{2}$ ，并写出点 $A_{2}$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，求线段 $OA$ 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 $π)$ ．

如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， $ΔOAB$ 的三个顶点 $O (0, 0)$ 、 $A (4, 1)$ 、 $B (4, 4)$ 均在格点上．

（1）画出 $ΔOAB$ 关于 $y$ 轴对称的△ $O A_{1} B_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ 的坐标；

（2）画出 $ΔOAB$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到的△ $O A_{2} B_{2}$ ，并写出点 $A_{2}$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，求线段 $OA$ 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 $π)$ ．