(本题满分12分)已知函数，求（Ⅰ）函数的定义域和值域；（Ⅱ-优题课

题文

(本题满分12分) 已知函数，求
（Ⅰ）函数的定义域和值域；（Ⅱ）写出函数的单调递增区间.

科目数学题型解答题难度较易

知识点：多面角及多面角的性质

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如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2, A B = 1, ∠ A B C = 90^{°}$ ；点 $D, E$ 分别在 $B B_{1}, A_{1} D$ 上，且 $B_{1} E ⊥ A_{1} D$ ，四棱锥 $C - A B D A_{1}$ 与直三棱柱的体积之比为3：5.

（1）求异面直线 $D E$ 与 $B_{1} C_{1}$ 的距离；
（2）若 $B C = \sqrt{2}$ ，求二面角 $A_{1} - D C_{1} - B_{1}$ 的平面角的正切值.

某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）.设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为 $\frac{1}{9}, \frac{1}{10}, \frac{1}{11}$ ,且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中：
（1）获赔的概率；
（2）获赔金额 $ξ$ 的分布列与期望.

设 $f (x) = 6 \cos^{2} x - \sqrt{3} \sin 2 x$

（1）求 $f (x)$ 的最大值及最小正周期；
（2）若锐角 $α$ 满足 $f (α) = 3 - 2 \sqrt{3}$ ，求 $\tan \frac{4}{5} α$ 的值.

设 $f (x) = \frac{x^{3}}{3}$ ，对任意实数 $t$ ，记 $g_{t} (x) = t^{\frac{2}{3}} x - \frac{2}{3} t$ ．
（I）求函数 $y = f (x) - g_{t} (x)$ 的单调区间；
（II）求证：（ⅰ）当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq g_{t} (x)$ 对任意正实数 $t$ 成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数 $x_{0}$ ，使得 $g_{x} (x_{0}) \geq g_{t} (x_{0})$ 对任意正实数 $t$ 成立．

已知数列 ${a_{n}}$ 中的相邻两项 $a_{2 k - 1}$ $a_{2 k}$ ,是关于的方程 $x^{2} - (3 k + 2^{k}) x + 3 k \cdot 2^{k} = 0$ 的两个根，且 $a_{2 k - 1} \leq a_{2 k} (k = 1, 2, 3, . . .)$ .

（I）求 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{5}$ ， $a_{7}$ ；
（II）求数列 ${a_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ ；
（Ⅲ）记 $f (n) = \frac{1}{2} (\frac{| \sin n |}{\sin n} + 3)$ ， $T_{n} = \frac{(- 1)^{f (2)}}{a_{1} a_{2}} + \frac{(- 1)^{f (3)}}{a_{3} a_{4}} + \frac{(- 1)^{f (4)}}{a_{5} a_{6}} + . . . + \frac{(- 1)^{f (n + 1)}}{a_{2 n - 1} a_{2 n}}$ ，

求证： $\frac{1}{6} \leq T_{n} \leq \frac{5}{24} (n \in N^{*})$ ．

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