设函数,其中向量
,
,
,
。
(1)求函数的最大值和最小正周期;
(2)将函数的图像按向量
平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小的
。
(本小题满分14分)已知函数.
(Ⅰ)求函数的图象在点
处的切线方程;
(Ⅱ)是否存在实数,当
时,函数
的最小值为
?若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)若,求证:
.
(本小题满分14分)椭圆(
)过点
,且离心率
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设动直线与椭圆
相切于点
且交直线
于点
,求椭圆
的两焦点
、
到切线
的距离之积;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求证:以为直径的圆恒过点
.
(本小题满分14分)已知数列的前
项和为
,且点
(
)均在函数
的图象上.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求证:,
.
(本小题满分14分) 如图,在三棱锥中,
,
,
,
,
、
、
分别是
、
、
的中点.
(Ⅰ)证明:平面平面
;
(Ⅱ)若,求三棱锥
的体积.
(本小题满分12分)已知广东省某校高三(1)班有名学生,从中按系统抽样抽取
名学生.
(Ⅰ)若第组抽出的号码为
,写出所有被抽出学生的号码;
(Ⅱ)分别统计这名学生的某高校自主招生考试成绩(满分:
分),获得成绩数据的茎叶图如图所示,现从这
名学生中随机抽取两名成绩超过平均分的学生,求成绩为
分的学生被抽取到的概率.