设函数
，其中向量
，
，
，
。
（1）求函数
的最大值和最小正周期；
（2）将函数的图像按向量
平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。
（本小题满分14分）已知函数
．
（Ⅰ）求函数
的图象在点
处的切线方程；
（Ⅱ）是否存在实数
，当
时，函数
的最小值为
？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若
，求证：
．
（本小题满分14分）椭圆
（
）过点
，且离心率
．
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）设动直线
与椭圆相切于点
且交直线
于点
，求椭圆的两焦点
、
到切线
的距离之积；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：以
为直径的圆恒过点．
（本小题满分14分）已知数列
的前
项和为
，且点
（
）均在函数
的图象上．
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）求证：
，．
（本小题满分14分） 如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，
、
、
分别是
、
、
的中点．
（Ⅰ）证明：平面
平面
；
（Ⅱ）若
，求三棱锥的体积．
（本小题满分12分）已知广东省某校高三（1）班有
名学生，从中按系统抽样抽取
名学生．
（Ⅰ）若第
组抽出的号码为
，写出所有被抽出学生的号码；
（Ⅱ）分别统计这名学生的某高校自主招生考试成绩（满分：
分），获得成绩数据的茎叶图如图所示，现从这名学生中随机抽取两名成绩超过平均分的学生，求成绩为
分的学生被抽取到的概率．