已知点，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当取最小值时，求点-优题课

已知首项为 $\frac{3}{2}$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} (n \in N^{+})$ , 且 $- 2 S_{2}, S_{3}, 4 S_{4}$ 成等差数列.
(Ⅰ) 求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式;
(Ⅱ) 证明 $S_{n} + \frac{1}{S_{n}} \leq \frac{13}{6} (n \in N^{+})$ .

设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ , 离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ , 过点 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设 $A, B$ 分别为椭圆的左右顶点, 过点 $F$ 且斜率为 $k$ 的直线与椭圆交于 $C, D$ 两点. 若 $\overset{⇀}{A C} \cdot \overset{⇀}{D B} + \overset{⇀}{A D} \cdot \overset{⇀}{C B} = 8$ , 求 $k$ 的值.

如图, 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, 侧棱 $A_{1} A ⊥$ 底面 $A B C$ ,且各棱长均相等. $D, E, F$ 分别为棱 $A B, B C, A_{1} C_{1}$ 的中点.

(Ⅰ) 证明 $E F / /$ 平面 $A_{1} C D$ ;
(Ⅱ) 证明平面 $A_{1} C D$ ⊥平面 $A_{1} A B B_{1}$ ;
(Ⅲ) 求直线 $B C$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成角的正弦值.

在 $△ A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ . 已知 $b \sin A = 3 c \sin B$ , $a = 3, \cos B = \frac{2}{3}$ .
(Ⅰ) 求 $b$ 的值;
(Ⅱ) 求 $\sin (2 B - \frac{π}{3})$ 的值.

某产品的三个质量指标分别为 $x, y, z$ , 用综合指标 $S = x + y + z$ 评价该产品的等级. 若 $S \leq 4$ , 则该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取 $10$ 件产品作为样本, 其质量指标列表如下:

产品编号	$A_{1}$	$A_{2}$	$A_{3}$	$A_{4}$	$A_{5}$
质量指标 $(x, y, z)$	$(1, 1, 2)$	$(2, 1, 1)$	$(2, 2, 2)$	$(1, 1, 1)$	$(1, 2, 1)$
产品编号	$A_{6}$	$A_{7}$	$A_{8}$	$A_{9}$	$A_{10}$
质量指标 $(x, y, z)$	$(1, 2, 2)$	$(2, 1, 1)$	$(2, 2, 1)$	$(1, 1, 1)$	$(2, 1, 2)$

(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;
(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,
(1) 用产品编号列出所有可能的结果;
(2) 设事件 $B$ 为 "在取出的 $2$ 件产品中, 每件产品的综合指标 $S$ 都等于4", 求事件 $B$ 发生的概率.