设$m\in R$,在平面直角坐标系中,已知向量$\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(mx,y+1)$,向量$\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(x,y-1)$,$\stackrel{\rightharpoonup }{a}\perp \stackrel{\rightharpoonup }{b}$,动点$M(x,y)$的轨迹为$E$．
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；
（2）已知$m=\frac{1}{4}$,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点$A,B$,且$OA\perp OB$（$O$为坐标原点）,并求出该圆的方程；
（3）已知$m=\frac{1}{4}$,设直线$l$与圆C:$x^2+y^2=R^2$（$1<R<2$）相切于$A_1$,且$l$与轨迹E只有一个公共点$B_1$,当$R$为何值时,$\left|A_1{B}_1\right|$取得最大值?并求最大值．

科目 数学   题型 解答题   难度 较易