已知数列满足，求数列的通项公式。-优题课

已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足a₁＝0，a₂＝2，且对任意 $m, n \in N *$ 都有 $a_{2 m － 1} ＋ a_{2 n － 1} ＝ 2 a_{m ＋ n － 1} ＋ 2 (m － n) 2$
（Ⅰ）求 $a_{3}, a_{5}$ ；
（Ⅱ）设 $b_{n} ＝ a_{2 n ＋ 1} － a_{2 n － 1} (n \in N^{*})$ ，证明： $\{b_{n}\}$ 是等差数列；
（Ⅲ）设 $c_{n} ＝ (a_{n + 1} － a_{n}) q^{n － 1} (q \neq 0 ， n \in N^{*})$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

已知定点 $A (- 1, 0), F (2, 0)$ ,定直线 $l$ : $x = \frac{1}{2}$ ,不在 $x$ 轴上动点 $P$ 与点 $F$ 的距离是它到直线 $l$ 的距离的2倍.设点 $P$ 的轨迹为 $E$ ,过点 $F$ 的直线交 $E$ 于 $B 、 C$ 两点,直线 $A B 、 A C$ 分别交 $l$ 于点 $M 、 N$

（Ⅰ）求 $E$ 的方程；
（Ⅱ）试判断以线段 $M N$ 为直径的圆是否过点 $F$ ,并说明理由.

已知正方体 $A B C D － A ` B ` C ` D `$ 的棱长为1，点 $M$ 是棱 $A A `$ 的中点，点O是对角线 $B D `$ 的中点.
（Ⅰ）求证： $O M$ 为异面直线 $A A `$ 和 $B D `$ 的公垂线；
（Ⅱ）求二面角 $M － B C ` － B `$ 的大小；
（Ⅲ）求三棱锥 $M － O B C$ 的体积.

某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有"奖励一瓶"或"谢谢购买"字样，购买一瓶若其瓶盖内印有"奖励一瓶"字样即为中奖，中奖概率为 $\frac{1}{6}$ .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求中奖人数 $ξ$ 的分布列及数学期望 $E ξ$ .

设函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{a}{2} x^{2} + b x + c$ ，其中 $a > 0$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = 1$ .

（Ⅰ）确定 $b, c$ 的值.
（Ⅱ）设曲线 $y = f (x)$ 在点（ $(x_{1}, f (x_{1}))$ ）及（ $(x_{2}, f (x_{2}))$ ）处的切线都过点（0,2）证明：当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时， $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ .

（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线 $y = f (x)$ 的三条不同切线，求 $a$ 的取值范围.