-优题课

如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C ⊥$ 平面 $A B C, P C = 3, ∠ A C B = \frac{π}{2}, D, E$ 分别为线段 $A B, B C$ 上的点，且 $C D = D E = \sqrt{2}, C E = 2 E B = 2$

（1）证明： $D E ⊥$ 平面 $P C D$

（2）求二面角 $A - P D - C$ 的余弦值。

已知函数 $f (x) = \sin (\frac{π}{2} - x) \sin x - \sqrt{3} \cos^{2} x$ .

（1）求 $f (x)$ 的最小正周期和最大值；
（2）讨论 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3}]$ 上的单调性.

端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。
（1）求三种粽子各取到1个的概率；
（2）设 $X$ 表示取到的豆沙粽个数，求 $X$ 的分布列与数学期望

设函数 $f (x) = x^{2} + a x + b (a, b \in R)$ .

（1）当 $b = \frac{a^{2}}{4} + 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的最小值 $g (a)$ 的表达式；
（2）已知函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上存在零点， $0 \leq b - 2 a \leq 1$ ，求 $b$ 的取值范围.

如图，已知抛物线 $C_{1} : y = \frac{1}{4} x^{2}$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ ，过点 $P (t, 0) (t > 0)$ 作不过原点 $O$ 的直线 $P A$ ， $P B$ 分别与抛物线 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 相切， $A, B$ 为切点.

（1）求点 $A, B$ 的坐标；
（2）求 $△ P A B$ 注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.