（本小题满分14分）已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点-优题课

设函数 $f (x) = a \cos 2 x + (a - 1) (\cos x + 1)$ ，其中 $a > 0$ ，记 $| f (x) |$ 的最大值为 $A$ ．

（Ⅰ）求 $f' (x)$ ；

（Ⅱ）求 $A$ ；

（Ⅲ）证明： $| f' (x) | ⩽ 2 A$ ．

已知抛物线 $C : y^{2} = 2 x$ 的焦点为 $F$ ，平行于 $x$ 轴的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，交 $C$ 的准线于 $P$ ， $Q$ 两点．

（Ⅰ）若 $F$ 在线段 $AB$ 上， $R$ 是 $PQ$ 的中点，证明 $AR / / FQ$ ；

（Ⅱ）若 $ΔPQF$ 的面积是 $ΔABF$ 的面积的两倍，求 $AB$ 中点的轨迹方程．

如图，四棱锥 $P - ABCD$ 中， $PA ⊥$ 底面 $ABCD$ ， $AD / / BC$ ， $AB = AD = AC = 3$ ， $PA = BC = 4$ ， $M$ 为线段 $AD$ 上一点， $AM = 2 MD$ ， $N$ 为 $PC$ 的中点．

（1）证明： $MN / /$ 平面 $PAB$ ；

（2）求直线 $AN$ 与平面 $PMN$ 所成角的正弦值．

如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．

注：年份代码 $1 - 7$ 分别对应年份 $2008 - 2014$ ．

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $t$ 的关系，请用相关系数加以证明；

（Ⅱ）建立 $y$ 关于 $t$ 的回归方程（系数精确到 $0.01)$ ，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：

参考数据： $\sum_{i = 1}^{7} y_{i} = 9.32$ ， $\sum_{i = 1}^{7} t_{i} y_{i} = 40.17$ ， $\sqrt{\sum_{i = 1}^{7} {(y_{i} - \overset{̅}{y})}^{2}} = 0.55$ ， $\sqrt{7} \approx 2.646$ ．

参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \overset{̅}{t}) (y_{i} - \overset{̅}{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \overset{̅}{t})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \overset{̅}{y})}^{2}}}$ ，

回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} t$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \overset{̅}{t}) (y_{i} - \overset{̅}{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \overset{̅}{t})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \overset{̅}{y} - \hat{b} \overset{̅}{t}$ ．

已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 1 + λ a_{n}$ ，其中 $λ \neq 0$ ．

（1）证明 ${a_{n}}$ 是等比数列，并求其通项公式；

（2）若 $S_{5} = \frac{31}{32}$ ，求 $λ$ ．