一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是
.
（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；
（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；
（3）这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
（本小题满分12分）解下列不等式：
（1）
（2）、
（本小题满分15分）
已知函数
。
（I）求函数
的单调区间；
（II）若
恒成立，试确定实数k的取值范围；
（III）证明：
．
本小题满分15分）
已知
，
，
的图像与
轴交于点
，且在该点处切线的斜率为
.
(I)若点
，点
是函数图像上一点，
是
的中点，当
，
时，求
的值；
(II)当
时，试问：是否存在曲线与
的公切线？并证明你的结论.
（本小题满分14分）
某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第
个月的利润
（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第个月的当月利润率
，例如：
．
（I）求第个月的当月利润率
的表达式；
（II）该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．
（本小题满分14分）
已知定义域为
的函数
是奇函数.
（I）求
的值；
（II）若对任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范围.