某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金-优题课

题文

某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下:首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.
(1)设a_k(1≤k≤n)为第k位职工所得奖金金额，试求a₂,a₃，并用k、n和b表示a_k(不必证明)；
(2)证明a_k＞a_k₊₁(k=1,2,…,n－1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
(3)发展基金与n和b有关，记为P_n(b),对常数b，当n变化时，求P_n(b).

科目数学题型解答题难度中等

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有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面(编号为①②③④⑤⑥)上安装5只颜色各异的灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5，若一个侧面上至少有3只灯发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要100元，用表示更换的面数，用表示更换费用。
(1)求①号面需要更换的概率；
(2)求6个面中恰好有2个面需要更换的概率；
(3)写出的分布列，求的数学期望。

数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n - 1} = (n^{2} + n - λ) a_{n}$ $(n = 1, 2, \dots)$ ， $λ$ 是常数。
（Ⅰ）当 $a_{2} = - 1$ 时，求 $λ$ 及 $a_{3}$ 的值；
（Ⅱ）数列 $\{a_{n}\}$ 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；
（Ⅲ）求 $λ$ 的取值范围，使得存在正整数 $m$ ，当 $n > m$ 时总有 $a_{n} < 0$ 。

已知 $△ A B C$ 的顶点 $A, B$ 在椭圆 $x^{2} + 3 y^{2} = 4$ 上， $C$ 在直线 $l : y = x + 2$ 上，且 $A B / / l$ .
（Ⅰ）当 $A B$ 边通过坐标原点 $O$ 时，求 $A B$ 的长及 $△ A B C$ 的面积；
（Ⅱ）当 $∠ A B C = 90 °$ ，且斜边 $A C$ 的长最大时，求 $A B$ 所在直线的方程。

甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 $A, B, C, D$ 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加 $A$ 岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率。

已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + + 3 b x + c (b \neq 0)$ ，且 $g (x) = f (x) - 2$ 是奇函数.
（Ⅰ）求 $a, c$ 的值；
（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 的单调区间.

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