如图，过椭圆的右焦点作一直线交椭圆于两点，且到直线的距离之和-优题课

已知数集 $A = {a_{1}, a_{2}, \dots a_{n}} (1 \leq a_{1} < a_{2} < \dots a_{n}, n \geq 2)$ 具有性质 $P$ ；对任意的 $i, j (1 \leq i \leq j \leq n)$ ， $a_{i} a_{j}$ 与 $\frac{a_{j}}{a_{i}}$ 两数中至少有一个属于 $A$ 。

（Ⅰ）分别判断数集 ${1, 3, 4}$ 与 ${1, 2, 3, 6}$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；

（Ⅱ）证明： $a_{1} = 1$ ，且 $\frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{a_{1}^{- 1} + a_{2}^{- 1} + \dots + a_{n}^{- 1}} = a_{n};$

（Ⅲ）证明：当 $n = 5$ 时， $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}$ 成等比数列。

已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，右准线方程为 $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

（Ⅰ）求双曲线 $C$ 的方程；

（Ⅱ）设直线 $l$ 是圆 $O : x^{2} + y^{2} = 2$ 上动点 $P (x_{0}, y_{0}) (x_{0} y_{0} \neq 0)$ 处的切线， $l$ 与双曲线 $C$ 交于不同的两点 $A, B$ ，证明 $∠ AOB$ 的大小为定值。

设函数 $f (x) = x e^{kx} (k \neq 0)$

（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅲ）若函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 内单调递增，求 $k$ 的取值范围。

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 $\frac{1}{3}$ ，遇到红灯时停留的时间都是2min。

（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 $ξ$ 的分布列及期望。

如图，在三棱锥 $P - ABC$ 中， $PA ⊥$ 底面 $ABC, PA = AB, ∠ ABC = 6 0^{°}, ∠ BCA = 9 0^{°}$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在棱 $PB, PC$ 上，且 $DE / / BC$

（Ⅰ）求证： $BC ⊥$ 平面 $PAC$ ；

（Ⅱ）当 $D$ 为 $PB$ 的中点时，求 $AD$ 与平面 $PAC$ 所成的角的大小；

（Ⅲ）是否存在点 $E$ 使得二面角 $A - DE - P$ 为直二面角？并说明理由。