设向量
为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量．若向量
，
，且
．
（1）求满足上述条件的点
的轨迹方程；
（2）设
，问是否存在常数
，使得
恒成立？证明你的结论．
如图所示的等腰梯形是一个简易水槽的横断面，已知水槽的最大流量与横断面的面积成正比，比例系数为
(
).
（Ⅰ）试将水槽的最大流量表示成关于
函数
；
（Ⅱ）求当多大时，水槽的最大流量最大.
已知存在实数
（其中
）使得函数
是奇函数，且在
上是增函数。
（1）试用观察法猜出两组
与
的值，并验证其符合题意；
（2）求出所有符合题意的与的值。
已知矩形纸片ABCD中，AB=6
，AD=12，将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点B落在矩形的边AD上，且折痕MN的两端点，M、N分别位于边AB、BC上，设
。
（ⅰ）试将
表示成
的函数；
（ⅱ）求的最小值。
某港口的水深
（米）是时间
（0≤≤24，单位：小时）的函数，下面是不同时间的水深数据：
根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数
的图像．
（1）试根据以上数据，求出的表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4．5米时是安全的，如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间?（忽略进出港所用的时间）?
如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数
．
（1）求这一天的最大用电量及最小用电量；
（2）写出这段曲线的函数解析式．