如图所示，光滑1/4圆弧的半径为0.8m，有一质量为1.0k-优题课

两根质量均可不计的弹簧，劲度系数分别为K1、K2，它们与一个质量为m的小球组成的弹簧振子，如图1所示。试证明弹簧振子做的运动是简谐运动。

一弹簧振子做简谐运动，振动图象如图6—3所示。振子依次振动到图中a、b、c、d、e、f、g、h各点对应的时刻时，（1）在哪些时刻，弹簧振子具有：沿x轴正方向的最大加速度；沿x轴正方向的最大速度。（2）弹簧振子由c 点对应x轴的位置运动到e点对应x轴的位置，和由e点对应x轴的位置运动到g点对应x轴的位置所用时间均为0.4s。弹簧振子振动的周期是多少？（3）弹簧振子由e点对应时刻振动到g点对应时刻，它在x轴上通过的路程是6cm，求弹簧振子振动的振幅。

如图（ $a$ ）所示，水平放置的两根平行金属导轨，间距 $L$ =0.3 $m$ ．导轨左端连接 $R$ ＝0.6 $Ω$ 的电阻，区域 $a b c d$ 内存在垂直于导轨平面 $B$ =0.6 $T$ 的匀强磁场，磁场区域宽 $D$ ="0.2" $m$ ．细金属棒 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 用长为2 $D$ =0.4 $m$ 的轻质绝缘杆连接，放置在导轨平面上，并与导轨垂直，每根金属棒在导轨间的电阻均为 $t$ ="0.3" $Ω$ ,导轨电阻不计，使金属棒以恒定速度 $r$ ="1.0" $m / s$ 沿导轨向右穿越磁场，计算从金属棒 $A_{1}$ 进入磁场（ $t$ =0）到 $A_{2}$ 离开磁场的时间内，不同时间段通过电阻 $R$ 的电流强度，并在图（ $b$ ）中画出．

如图，一直导体棒质量为 $m$ 、长为 $l$ 、电阻为r，其两端放在位于水平面内间距也为l的光滑平行导轨上，并与之密接；棒左侧两导轨之间连接一可控制的负载电阻（图中未画出）；导轨置于匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为 $B$ ，方向垂直于导轨所在平面。开始时，给导体棒一个平行于导轨的初速度 $v_{0}$ 。在棒的运动速度由 $v_{0}$ 减小至 $v_{1}$ 的过程中，通过控制负载电阻的阻值使棒中的电流强度 $I$ 保持恒定。导体棒一直在磁场中运动。若不计导轨电阻，求此过程中导体棒上感应电动势的平均值和负载电阻上消耗的平均功率。

如图所示，竖直平面内有一半径为 $r$ 、电阻为 $R_{1}$ 、粗细均匀的光滑半圆形金属环，在 $M$ 、 $N$ 处与相距为 $2 r$ 、电阻不计的平行光滑金属轨道 $M E$ 、 $N F$ 相接， $E F$ 之间接有电阻 $R_{2}$ ，已知 $R_{1}$ ＝12 $R$ ， $R_{2}$ ＝4 $R$ 。在MN上方及 $C D$ 下方有水平方向的匀强磁场 $I$ 和 $I I$ ，磁感应强度大小均为 $B$ 。现有质量为 $m$ 、电阻不计的导体棒 $a b$ ，从半圆环的最高点 $A$ 处由静止下落，在下落过程中导体棒始终保持水平，与半圆形金属环及轨道接触良好，设平行轨道足够长。已知导体棒 $a b$ 下落 $r$ /2时的速度大小为 $v_{1}$ ，下落到 $M N$ 处的速度大小为 $v_{2}$ 。

(1)求导体棒 $a b$ 从 $A$ 下落 $r$ /2时的加速度大小。
(2)若导体棒 $a b$ 进入磁场Ⅱ后棒中电流大小始终不变，求磁场I和Ⅱ之间的距离 $h$ 和 $R_{2}$ 上的电功率 $P_{2}$ 。
(3)若将磁场Ⅱ的 $C D$ 边界略微下移，导体棒 $a b$ 刚进入磁场Ⅱ时速度大小为 $v_{3}$ ，要使其在外力 $F$ 作用下做匀加速直线运动，加速度大小为 $a$ ，求所加外力 $F$ 随时间变化的关系式。