一台机器使用时间较长，但还可以使用.它按不同的转速生产出来的-优题课

题文

一台机器使用时间较长，但还可以使用.它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有
缺点零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：

转速x(转/秒)	16	14	12	8
每小时生产有缺点的零件数y(件）	11	9	8	5

（1）对变量y与x进行相关性检验；
（2）如果y与x有线性相关关系，求回归直线方程；
（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？

科目数学题型解答题难度中等

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已知 $P$ 为半圆 $C : {\begin{matrix} x = \cos θ \\ y = \sin θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数， $0 \leq θ \leq π$ ）上的点，点 $A$ 的坐标为(1,0)， $O$ 为坐标原点，点 $M$ 在射线 $O P$ 上，线段 $O M$ 与 $C$ 的弧 $\overset{⏜}{A P}$ 的长度均为 $\frac{π}{3}$ .
（Ⅰ）以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 $M$ 的坐标；
（Ⅱ）求直线 $A M$ 的参数方程

设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ , $B$ 两点，直线 $l$ 的倾斜角为 $60^{°}$ ， $F_{1}$ 到直线 $l$ 的距离为 $2 \sqrt{3}$ .
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的焦距；
（Ⅱ）如果 $\overset{⇀}{A F_{2}} = 2 \overset{⇀}{F_{2} B}$ ,求椭圆 $C$ 的方程。

为了比较注射 $A, B$ 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这200只家兔随即地分成两组。每组100只，其中一组注射药物 $A$ ，另一组注射药物 $B$ .下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的实验结果。（疱疹面积单位： $m m^{2}$ ）
表1：注射药物 $A$ 后皮肤疱疹面积的频数分布表

表2：注射药物 $B$ 后皮肤疱疹面积的频数分布表

（Ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；

（Ⅱ）完成下面 $2 \times 2$ 列联表，并回答能否有99.9％的把握认为"注射药物 $A$ 后的疱疹面积与注射药物 $B$ 后的疱疹面积有差异".
表3：

在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 的对边，且 $2 a \sin A = (2 b + c) \sin B + (2 c + b) \sin C$ .
（Ⅰ）求 $A$ 的大小；
（Ⅱ）若 $\sin B + \sin C = 1$ ，是判断 $△ A B C$ 的形状.

如图，棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 是菱形， $B_{1} C ⊥ A_{1} B$ .
（Ⅰ）证明：平面 $A_{1} B_{1} C$ $⊥$ 平面 $A_{1} B_{} C_{1}$ ；
（Ⅱ）设 $D$ 是 $A_{1} C_{1}$ 上的点，且 $A B_{1} / /$ 平面 $B_{1} C D$ ，求 $A_{1} D \cdot D C_{1}$

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