如下图所示，两根带有滑道的线杆，分别绕着定点和在平面内转动，-优题课

已知函数 $f (x) = (\frac{1}{x} + a) \ln (1 + x)$ ．

（1）当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

（2）若函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 单调递增，求 $a$ 的取值范围．

如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P B = P C = \sqrt{6}$ ， $B P$ ， $A P$ ， $B C$ 的中点分别为 $D$ ， $E$ ， $O$ ，点 $F$ 在 $A C$ 上， $B F ⊥ A O$ ．

（1）求证： $E F ∥$ 平面 $A D O$ ；

（2）若 $∠ P O F = 120 °$ ，求三棱锥 $P - A B C$ 的体积．

记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{2} = 11$ ， $S_{10} = 40$ ．

（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

（2）求数列 $\{|a_{n}|\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行 $10$ 次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 $x_{i}$ ， $y_{i} (i = 1, 2, . . . 10)$ ．试验结果如下：

试验序号 $i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
伸缩率 $x_{i}$	545	533	551	522	575	544	541	568	596	548
伸缩率 $y_{i}$	536	527	543	530	560	533	522	550	576	536

记 $z_{i} = x_{i} - y_{i} (i = 1, 2, . . ., 10)$ ，记 $z_{1}, z_{2}, . . . z_{10}$ 的样本平均数为 $\bar{z}$ ，样本方差为 $s^{2}$ ．

（1）求 $\bar{z}$ ， $s^{2}$ ；

（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．（如果 $\bar{z} \geq 2 \sqrt{\frac{s^{2}}{10}}$ ，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）

已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \in (0, π]$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \sin (a_{n})$ ，集合 $S = {x | x = b_{n}, n \in N^{*}}$ ．

（1）若 $a_{1} = 0, d = \frac{2 π}{3}$ ，求集合 $S$ ；

（2）若 $a_{1} = \frac{π}{2}$ ，求 $d$ 使得集合 $S$ 恰好有两个元素；

（3）若集合 $S$ 恰好有三个元素： $b_{n + T} = b_{n}$ ，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值．