已知函数
且导数
.
（Ⅰ）试用含有
的式子表示
，并求
单调区间; （II）对于函数图象上的不同两点
，如果在函数图象上存在点
（其中
）使得点
处的切线
，则称
存在“伴侣切线”.特别地，当
时，又称存在“中值伴侣切线”.试问：在函数上是否存在两点
、
使得它存在“中值伴侣切线”，若存在，求出、的坐标，若不存在，说明理由.
（本题满分10分，每小题各5分）
（1）求值：
（2）求证：
，
（本小题满分14分）已知椭圆
（
）经过点
，且椭圆的左、右焦点分别为
、
，过椭圆的右焦点
作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点
、
及
、
．
（1）求椭圆的方程；
（2）求
的值；
（3）求
的最小值．
（本小题满分14分）已知
为数列
的前
项和，且有
，
（
）．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列
满足
，其前项和为
，求证：
．
（本小题满分14分）如图，在四棱柱
中，底面
是等腰梯形，
，
，
是线段
的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）若
平面且
，求平面
和平面所成的角（锐角）的余弦值．
（本小题满分14分）某农场计划种植甲、乙两个品种的蔬菜，总面积不超过
亩，总成本不超过
万元．甲、乙两种蔬菜的成本分别是每亩
元和每亩
元．假设种植这两个品种的蔬菜，能为该农场带来的收益分别为每亩
万元和每亩
万元．问该农场如何分配甲、乙两种蔬菜的种植面积，可使农场的总收益最大，最大收益是多少万元？