.（1）求证：数列为等比数列，并由此求出；（2）若数列满足：-优题课

题文

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（1）求证：数列为等比数列，并由此求出；
（2）若数列满足：.试求数列的通项公式

科目数学题型解答题难度中等

知识点：等比数列

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如图，已知两条抛物线 $E_{1} : y^{2} = 2 p_{1} x (p_{1} > 0)$ 和 $E_{2} : y^{2} = 2 p_{2} x (p_{2} > 0)$ ，过原点 $O$ 的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ， $l_{1}$ 与 $E_{1}, E_{2}$ 分别交于 $A_{1}, A_{2}$ 两点， $l_{2}$ 与 $E_{1}, E_{2}$ 分别交于 $B_{1}, B_{2}$ 两点.
（1）证明： $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2}$

（2）过原点 $O$ 的直线 $l$ （异于 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ）与 $E_{1}, E_{2}$ 分别交于 $C_{1}, C_{2}$ 两点.记 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 的面积分别为 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ ,求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值.

设函数 $f (x) = 1 + (1 + a) x - x^{2} - x^{3}$ ,其中 $a > 0$ .
（1）讨论 $f (x)$ 在其定义域上的单调性；
（2）当 $x \in [0.1]$ 时，求 $f (x)$ 取得最大值和最小值时的的值.

甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，各局比赛结果相互独立.
(1)求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
(2)记 $X$ 为比赛决出胜负时的总局数，求 $X$ 的分布列和均值（数学期望）.

设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对边的长分别是 $a, b, c$ ，且 $b = 3, c = 1, A = 2 B$

（1）求 $a$ 的值；
（2）求 $\sin (A + \frac{π}{4})$ 的值.

若不等式＋＋…＋>对一切正整数n都成立，猜想正整数a的最大值，并证明结论．

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