(本题满分13分)如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有-优题课

(本题满分13分)如图，棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°．（Ⅰ）证明：BD⊥AA₁；
（Ⅱ）求二面角D—A₁A—C的平面角的余弦值；（Ⅲ）在直线CC₁上是否存在点P，使BP//平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

科目数学题型解答题难度容易

已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $\{b_{n}\}$ 为等比数列， $a_{1} = b_{1} = 1, a_{5} = 5 (a_{4} - a_{3}), b_{5} = 4 (b_{4} - b_{3})$ ．

（Ⅰ）求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

（Ⅱ）记 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} S_{n + 2} < S_{n + 1}^{2} (n \in N^{*})$ ；

（Ⅲ）对任意的正整数 $n$ ，设 $c_{n} = \{\begin{matrix} \frac{(3 a_{n} - 2) b_{n}}{a_{n} a_{n + 2}}, & n 为奇数, \\ \frac{a_{n - 1}}{b_{n + 1}}, & n 为偶数 . \end{matrix}$ 求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和．

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $A (0, - 3)$ ，右焦点为 $F$ ，且 $| OA | = | OF |$ ，其中 $O$ 为原点．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）已知点 $C$ 满足 $3 \vec{OC} = \vec{OF}$ ，点 $B$ 在椭圆上（ $B$ 异于椭圆的顶点），直线 $AB$ 与以 $C$ 为圆心的圆相切于点 $P$ ，且 $P$ 为线段 $AB$ 的中点．求直线 $AB$ 的方程．

如图，在三棱柱 $ABC - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面 $ABC, AC ⊥ BC, AC = BC = 2$ ， $C C_{1} = 3$ ，点 $D, E$ 分别在棱 $A A_{1}$ 和棱 $C C_{1}$ 上，且 $AD = 1 CE = 2, M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $C_{1} M ⊥ B_{1} D$ ；

（Ⅱ）求二面角 $B - B_{1} E - D$ 的正弦值；

（Ⅲ）求直线 $AB$ 与平面 $D B_{1} E$ 所成角的正弦值．

在 $△ ABC$ 中，角所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a = 2 \sqrt{2}, b = 5, c = \sqrt{13}$ ．

（Ⅰ）求角 $C$ 的大小；

（Ⅱ）求 $\sin A$ 的值；

（Ⅲ）求 $\sin (2 A + \frac{π}{4})$ 的值．

已知 $1 < a \leq 2$ ，函数 $f (x) = e^{x} - x - a$ ，其中e=2.71828…为自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：函数在 $(0 ， + \infty)$ 上有唯一零点；

（Ⅱ）记x₀为函数在 $(0 ， + \infty)$ 上的零点，证明：

（ⅰ） $\sqrt{a - 1} \leq x_{0} \leq \sqrt{2 (a - 1)}$ ；

（ⅱ） $x_{0} f (e^{x_{0}}) \geq (e - 1) (a - 1) a$ ．

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