对于数列 $\left\{u_n\right\}$，若存在常数 $M>0$，对任意的 $n\in N^{+}$，恒有 $\left|u_{n+1}-u_n\right|+\left|u_n-u_{n-1}\right|+...+\left|u_2-u_1\right|\le M$，则称数列 $\left\{u_n\right\}$为 $B-$数列.
（Ⅰ）首项为1，公比为 $-\frac{1}{2}$的等比数列是否为 $B-$数列？请说明理由；
（Ⅱ）设 $S_n$是数列 $\left\{x_n\right\}$的前 $n$项和，给出下列两组判断：
A组：①数列 $\left\{x_n\right\}$是 $B-$数列；②数列 $\left\{x_n\right\}$不是 $B-$数列；
B组：③数列 $\left\{S_n\right\}$是 $B-$数列；④数列 $\left\{S_n\right\}$不是 $B-$数列.
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（Ⅲ）若数列 $\left\{a_n\right\}$是 $B-$数列，证明：数列 $\left\{{a_n}^2\right\}$也是 $B-$数列.

科目 数学   题型 解答题   难度 中等