甲、乙、丙三人进行某项比赛，每局有两人参加，没有平局，在一局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比赛，然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中，有人获胜两局就算取得比赛的胜利，比赛结束.（I）求只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率；（II）求只进行两局比赛，比赛就结束的概率；（III）求甲取得比赛胜利的概率.
解不等式．
已知函数的图像与直线有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为，求证： ．
设，．证明：当且仅当时，存在数列满足以下条件： （ⅰ），； （ⅱ）存在； （ⅲ），．
求满足下列关系式组的正整数解组的个数．
如题一图，是圆内接四边形．与的交点为，是弧上一点，连接并延长交于点，点分别在，的延长线上，满足，，求证：四点共圆．
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，甲胜丙的概率为
，乙胜丙的概率为，比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比赛，然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中，有人获胜两局就算取得比赛的胜利，比赛结束.
．
的图像与直线
有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为
，求证： 
．
，
．证明：当且仅当
时，存在数列
满足以下条件：
，
；
存在；
，
的正整数解组
的个数．
是圆内接四边形．
与
的交点为
，
是弧
上一点，连接
并延长交
于点
，点
分别在
，
的延长线上，满足
，
，求证：
四点共圆． 