某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响.-优题课

某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生只选修甲的概率为，只选修甲和乙的概率是，至少选修一门的概率是，用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.
（1）记“函数为上的偶函数”为事件，求事件的概率；
（2）求的分布列和数学期望.

科目数学题型解答题难度中等

已知关于x的函数 $y = f (x), y = g (x)$ 与 $h (x) = kx + b (k, b \in R)$ 在区间D上恒有 $f (x) \geq h (x) \geq g (x)$ ．

（1）若 $f (x) = x^{2} + 2 x ， g (x) = - x^{2} + 2 x ， D = (- \infty ， + \infty)$ ，求h(x)的表达式；

（2）若 $f (x) = x^{2} - x + 1 ， g (x) = k \ln x ， h (x) = kx - k, D = (0 ， + \infty)$ ，求k的取值范围；

（3）若 $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} ， g (x) = 4 x^{2} - 8 ， h (x) = 4 (t^{2} - t) x - 3 t^{4} + 2 t^{2} (0 < |t| \leq \sqrt{2}) ， D = [m, n] \subseteq [- \sqrt{2}, \sqrt{2}] ，$ 求证： $n - m \leq \sqrt{7}$ ．

在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 F ₁， F ₂，点 A在椭圆 E上且在第一象限内， AF ₂⊥ F ₁ F ₂，直线 AF ₁与椭圆 E相交于另一点 B．

（1）求△ AF ₁ F ₂的周长；

（2）在 x轴上任取一点 P，直线 AP与椭圆 E的右准线相交于点 Q，求 $\vec{OP} \cdot \vec{QP}$ 的最小值；

（3）设点 M在椭圆 E上，记△ OAB与△ MAB的面积分别为 S ₁， S ₂，若 S ₂=3 S ₁，求点 M的坐标．

某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O在水平线 MN上、桥 AB与 MN平行， $O O^{'}$ 为铅垂线( $O^{'}$ 在 AB上).经测量，左侧曲线 AO上任一点 D到 MN的距离 $h_{1}$ (米)与 D到 $O O^{'}$ 的距离 a(米)之间满足关系式 $h_{1} = \frac{1}{40} a^{2}$ ；右侧曲线 BO上任一点 F到 MN的距离 $h_{2}$ (米)与 F到 $O O^{'}$ 的距离 b(米)之间满足关系式 $h_{2} = - \frac{1}{800} b^{3} + 6 b$ .已知点 B到 $O O^{'}$ 的距离为40米.

（1）求桥 AB的长度；

（2）计划在谷底两侧建造平行于 $O O^{'}$ 的桥墩 CD和 EF，且 CE为80米，其中 C， E在 AB上(不包括端点).桥墩 EF每米造价 k(万元)、桥墩 CD每米造价 $\frac{3}{2} k$ (万元)( k>0).问 $O^{'} E$ 为多少米时，桥墩 CD与 EF的总造价最低?

在△ ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 $a = 3, c = \sqrt{2}, B = 45 °$ ．

（1）求 $\sin C$ 的值；

（2）在边 BC上取一点 D，使得 $\cos ∠ ADC = - \frac{4}{5}$ ，求 $\tan ∠ DAC$ 的值．

在三棱柱 ABC- A ₁ B ₁ C ₁中， AB⊥ AC， B ₁ C⊥平面 ABC， E， F分别是 AC， B ₁ C的中点．

（1）求证： EF∥平面 AB ₁ C ₁；

（2）求证：平面 AB ₁ C⊥平面 ABB ₁．

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