如图所示,四棱锥 $P-ABCD$ 的底面 $ABCD$ 是半径为 $R$ 的圆的内接四边形,其中 $BD$ 是圆的直径, $\angle ABD={60}^{°}$ , $\angle BDC={45}^{°}$ , $PD$ 垂直底面 $ABCD$ , $PD=2\sqrt{2}R,E,F$ 分别是 $PB,CD$ 上的点,且 $\frac{PE}{EB}=\frac{DF}{FC}$ ,过点 $E$ 作 $BC$ 的平行线交 $PC$ 于 $G$ .
（1）求 $BD$ 与平面 $ABP$ 所成角 $\theta$ 的正弦值
（2）证明: $△EFG$ 是直角三角形；
（3）当 $\frac{PE}{EB}=\frac{1}{2}$ 时,求 $△EFG$ 的面积.

科目 数学   题型 解答题   难度 中等