（本小题满分10分）已知为坐标原点，，（，是常数），若（1）-优题课

（本小题满分10分）已知为坐标原点，，（，是常数），若
（1）求关于的函数关系式；
（2）若的最大值为，求的值；
（3）当（2）成立时，求出单调区间。

科目数学题型解答题难度较易

设函数 $f (x) = |x + \frac{1}{a}| + |x - a| (a > 0)$ .

（1）证明： $f (x) \geq 2$ ；
（2）若 $f (3) < 5$ ，求 $a$ 的取值范围.

在直角坐标系 $x o y$ 中，以坐标原点为极点， $x$ 轴为极轴建立极坐标系，半圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \cos θ$ ， $θ \in [0, \frac{π}{2}]$ .
（1）求 $C$ 的参数方程；

（2）设点 $D$ 在 $C$ 上， $C$ 在 $D$ 处的切线与直线 $l : y = \sqrt{3} x + 2$ 垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定 $D$ 的坐标.

如图， $P$ 是 $O$ 外一点， $P A$ 是切线， $A$ 为切点，割线 $P B C$ 与 $O$ 相交于点 $B, C$ ， $P C = 2 P A$ ， $D$ 为 $P C$ 的中点， $A D$ 的延长线交 $O$ 于点 $E$ .

证明：（1） $B E = E C$ ；
（2） $A D \cdot D E = 2 P B^{2}$

已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} - 2 x$ .
（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）设 $g (x) = f (2 x) - 4 b f (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $g (x) > 0$ ,求 $b$ 的最大值；
（3）已知 $1.4142 < \sqrt{2} < 1.4143$ ，估计 $\ln 2$ 的近似值（精确到0.001）.

设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点， $M$ 是 $C$ 上一点且 $M F_{2}$ 与 $x$ 轴垂直，直线 $M F_{1}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N$ .
（1）若直线 $M N$ 的斜率为 $\frac{3}{4}$ ，求 $C$ 的离心率；
（2）若直线 $M N$ 在 $y$ 轴上的截距为2，且 $|M N| = 5 |F_{1} N|$ ，求 $a, b$ .

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