(本小题满分12分)有2名老师，3名男生，4名女生照相留念，-优题课

题文

(本小题满分12分)
有2名老师，3名男生，4名女生照相留念，在下列情况中，各有多少种不同站法？
（写出过程，最后结果用数字表示）
(1) 男生必须站在一起；
(2) 女生不能相邻；
(3) 若4名女生身高都不等，从左到右女生必须由高到矮的顺序站；
(4) 老师不站两端，男生必须站中间．

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已知 $a > 0, b > 0, c > 0$ ，函数 $f (x) = |x + a| + |x - b| + c$ 的最小值为 $4$ ．
（Ⅰ）求 $a + b + c$ 的值；
（Ⅱ）求 $\frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{9} b^{2} + c^{2}$ 的最小值．

选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 $x o y$ 中，圆 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = 1 + 3 \cos t \\ y = - 2 + 3 \sin t \end{cases} (t 为参数)$ .在极坐标系（与平面直角坐标系 $x o y$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴非负半轴为极轴）中，直线 $l$ 的方程为 $\sqrt{2} r \sin (q - \frac{p}{4}) = m (m \in R)$ .

（Ⅰ）求圆 $C$ 的普通方程及直线 $l$ 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离等于2，求 $m$ 的值．

已知矩阵 $A = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})$ （Ⅰ）求 $A$ 的逆矩阵 $A^{- 1}$ ；
（Ⅱ）求矩阵 $C$ ，使得 $A C = B$ .

已知函数 $f (x) = \ln (1 + x)$ ， $g (x) = k x, (k \in R)$

（Ⅰ）证明：当 $x > 0 时， f (x) < x$ ；
（Ⅱ）证明：当 $k < 1$ 时，存在 $x_{0} > 0$ ,使得对 $任意 x \in (0, t), 恒有 f (x) > g (x)$
（Ⅲ）确定 $k$ 的所以可能取值，使得存在 $t > 0$ ，对任意的 $x \in (0, t)$ 恒有 $|(f (x) - g (x))| < x^{2}$ ．

已知函数 $f (x)$ 的图像是由函数 $g (x) = \cos x$ 的图像经如下变换得到:先将 $g (x)$ 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图像向右平移 $\frac{p}{2}$ 个单位长度.
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的解析式,并求其图像的对称轴方程；
（Ⅱ）已知关于 $x$ 的方程 $f (x) + g (x) = m$ 在 $[0, 2 p)$ 内有两个不同的解 $a, b$ ．
（1）求实数 $m$ 的取值范围；
（2）证明： $\cos (a - b) \frac{2 m^{2}}{5} - 1$

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